Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Twierdzenie1.3.10.Jeślifunkcjefjg:XæYs!ci!głe,aYjestprze-
strzeni!Hausdorfia,tozbiór{xEX:f(x)=g(x)}jestdomknięty.
Dowód.Załóżmy,żef(x)”=g(x).SkoroYjestprzestrzeniąHausdorIa,
toistniejątakieotoczeniaUjV™Yodpowiedniopunktówf(x)ig(x),że
UflV=ÿ.WówczasW=f11[U]flg11[V]jestotoczeniempunktuxoraz
f(g)”=g(g)dlakażdegogEW.Tokończydowód.
⇤
Jednązwłasnościfunkcjiciągłychjestto,żezachowujespójność.
Twierdzenie1.3.11.Jeślif:XæYjestci!gł!surjekcj!,aprzestrzeń
Xjestspójna,toprzestrzeńYtakżejestspójna.
Dowód.Przypuśćmy,żeprzestrzeńYniejestspójna.Wówczasistnie-
jezbiórdomknięto-otwartyU™Ytaki,żeU”=ÿorazU”=Y.Ztwier-
ÿ”=f11[U]”=X,dostajemysprzeczność.
⇤
aletakżedomknięteipółdomknięte)sąspójne.Nietrudnoteżzauważyć,że
każdyniepustypodzbiórspójnyprzestrzeniRmusibyćprzedziałem.Wobec
tegomamynastępującywniosek.
Wniosek1.3.12(własnośćDarboux).Jeślif:XæRjestfunkcj!ci!gł!,
aXjestprzestrzeni!spójn!,tozbiórf[X]jestprzedziałem.
Wszczególności,funkcjeciągłeokreślonenaprzedziałachzbioruliczbrze-
czywistychprzyjmująwszystkiewartościpośrednie.Tęwłasnośćfunkcjicią-
głychznamyzwykładuanalizymatematycznej.OdkryłjąBolzano,lecztra-
Dladowodukolejnegolematuwystarczyzauważyć,żejeślidanesąfunkcje
f:XæYorazg:YæZ,to(gof)11[A]=f11[g11[A]]dlakażdegoA™Z.
Stądwynikakolejnylemat.
Lemat1.3.13.Jeślifunkcjef:XæYorazg:YæZs!ci!głe,to
złożeniegof:XæZjestfunkcj!ci!gł!.
Donastępnegolematupotrzebnejestdodatkowepojęciezzakresuteorii
dozbioruA™Xnazywamyfunkcję
frA=ffl(AXY).
(1.19)
AzatemfrA:AæY,aponadto(frA)(x)=f(x)dlakażdegoxEA.Dla
zbioruotwartegoU™Yzbiór(frA)11[U]=f11[U]flAjestotwartywA,
Lemat1.3.14.Obcięciefunkcjici!głejjestfunkcj!ci!gł!.
29ZnanewrachunkuróżniczkowymtwierdzenieDarbouxmówi,żetakżepochodnafunk-
cjiróżniczkowalnejprzyjmujewartościpośrednie.
