Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5.ILOCZYNKARTEZJAŃSKIPRZESTRZENITOPOLOGICZNYCH
47
Dowód.DlakażdegoVETXidlakażdegoWETTzachodząrówności
pr11
X[V]=VXYorazpr11
Y[W]=XXW.
Wystarczywięczauważyć,żezbiorytenależądopodbazywXXY.
Lemat1.5.6.Rzutowaniaziloczynukartezjańskiegos!otwarte.
⇤
Dowód.Ponieważobrazsumyzbiorówjestrównysumieobrazówskład-
nikówtejsumy,wystarczywykazać,żeobrazpoprzezrzutowaniekażdego
elementubazywprodukcieXXYjestzbioremotwartym.Zdefinicjirzuto-
waniawynikajednak,żedladowolnychzbiorówotwartychU™XorazV™Y
mamyprX[UXV]=UorazprY[UXV]=V.Tokończydowód.
⇤
Dlakażdejfunkcjif:XæYzbiór
W(f)={(xjf(x)):xEX}™XXY
nazwijmywykresemfunkcjif.Jesttopewnaniekonsekwencja,bozgodnie
W(f)=f.Jednakrozróżnienie,któretuzostałowprowadzone,jestzgodne
ztradycjąipowszechnewwieluksiążkach.Jestteżniekiedypotrzebne,bo
dziękiniemumożemyuniknąćnieporozumieńterminologicznych.Mówimyna
jestdomkniętydlakażdegozbiorudomkniętegoF™X,atonieoznacza,
żefjestpodzbioremdomkniętymprzestrzeniXXY.Wykorzystamypóźniej
pewnewłasnościwykresówfunkcji.
Lemat1.5.7.Jeślifunkcjaf:XæYjestci!gła,aYjestprzestrzeni!
Hausdorfia,tozbiórW(f)jestdomkniętywXXY.
Dowód.Ustalmydowolne(xjg)EXXY\W(f).Wówczasg”=f(x),
azatemistniejątakiezbioryotwarterozłączneUjV™Y,żegEUif(x)EV.
Zbiórf11[V]XUjestotoczeniempunktu(xjg)rozłącznymzW(f).
⇤
Lemat1.5.8.Jeślif:XæYjestfunkcj!ci!gł!,aYjestprzestrzeni!
Hausdorfia,tofunkcjah:XæXXYdanawzorem
h(x)=(xjf(x))
dlakażdegoxEXjestzanurzeniem,azbiórh[X]jestdomkniętywXXY.
WszczególnościprzestrzeńW(f)jesthomeomorficznazX.
Dowód.Funkcjahjestróżnowartościowa,bojeślix1”=x2,to
h(x1)=(x1jf(x1))”=(x2jf(x2))=h(x2).
Abywykazaćciągłośćfunkcjih,ustalmyzbioryotwarteU™XorazV™Y.
Zdefinicjifunkcjihwynika,żezachodzirówność
h
11[UXV]={xEX:h(x)EUXV}=
={xEX:(xjf(x))EUXV}=Uflf11[V]j
