Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
2.Ultradźwięki–falesprężyste
PrzesunięciecząstkiĘwtychwyrażeniachwystępujejakowielkośćokreś-
lającapołożeniecząstkiwzględempołożeniarównowagix:a,przyczymwe
współrzędnychLagrange’ajestonofunkcjąait(cząstkazwiązanazpołożeniem),
awewspółrzędnychEulerajestfunkcjąxit(Ęjestprzesunięciemdowolnejcząstki
wmiejscux).
RóżnicęmiędzywspółrzędnymiLagrange’aiEulerałatwozauważyć,gdy
rozważymysytuacjędynamiczną(rys.2.6).Narysunku2.6aprzedstawionowycinek
ośrodkaniezaburzonego(trzyrówneelementyobjętości).Objętośćelementu
środkowegojestrównadadydz,gdziedydzoznaczapowierzchnięścianekbocznych
elementuprostopadłegodorysunku(tapowierzchnianieulegazmianie,gdy
rozpatrujemyruchjednowymiarowowzdłużx,niebędziewięcpotrzebyodróżniania,
czyyizsąwspółrzędnymiLagrange’aczyEulera).
Rozważmyterazprzypadek,gdyośrodekzostałzaburzonyprzezfalę
płaskąbiegnącąwzdłużx.Rozważanyelementobjętościdoznajealbościśnię-
cia(zgęszczenia)(rys.2.6b),alborozciągnięcia(rozrzedzenia)(rys.2.6c)wza-
leżnościodfazyjegowychyleniazpołożeniarównowagiwmiejscua.Zmiana
elementuobjętości(wtymprzypadkujednowymiarowa)wynosiodpowiednio
9dĘlub;dĘ.
Ściankaelementu,którapoczątkowoznajdowałasięwpunkciea,zmienia
położenienax:a;Ę,aściankaznajdującasiępoczątkowowpunkciea;da
zmieniapołożenienax;dx:a;da;Ę;dĘ.Tenowepołożeniaścianek
wyrażonewewspółrzędnychLagrange’amożnaoznaczyćprzezxŁorazxŁ;dxŁ.
ObjętośćelementupodeformacjimożnawięcwyrazićjakodxŁdydz.Zgodnie
zdefinicjącząstkiakustycznejośrodka,którąprzedstawiarozpatrywanyelement,
jegomasaprzedipodeformacjinieulegazmianie.Całkowitamasaośrodka
wobjętościelementujesttasama,zachodziwięcrówność
p
0
dadydz:pŁdxŁdydz
(2.6)
gdziep
przesunięciu.Równanie(2.6),którepoobustronnympodzieleniuprzezdydz
0
jestgęstościąośrodkaniezaburzonego,apŁ–gęstościąośrodkapo
przyjmujepostać
pŁ:p
0
dxŁ
da
(2.7)
jestrównaniemciągłościośrodka.Wynikaonozfaktuzachowaniamasyimówi,że
da
gęstośćzmieniasięwwynikudeformacji
dxŁ
elementuobjętości.Równanie(2.7)
możnaprzekształcićpouwzględnieniu,żezgodniez(2.3)xŁ:a;Ę,skąd
dxŁ
da
:1;
*Ę
*a
czylipŁ:p
0
⎛
⎝1;
*Ę
*a
⎞
⎠
\1
(2.8)
