Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Szkicdowodutwierdzeniaohomotopiitras
Rozdziałtenbędziepoświęconyszkicowidowoduponiższegofaktu:
Twierdzenie.Dwietrasysąrównoważnewtedyitylkowtedy,gdysąhomotopijne.
NiechW⊆
|
2oznaczaobszarpokrytyprzezwodę.Zacznijmyodprzypomnienia
kilkupojęćztopologii.
Definicja1.Pętlą(skierowaną)wWnazywamykażdąfunkcjęciągłąp:[0,1]→W,
takążep(0)=p(1).Intuicyjniep(t)oznaczamiejsce,wktórymznajdowałasię
rybawchwilit.
Definicja2.NiechpiqbędąpętlamiwW.Homotopiąłączącąpiqnazywamy
dowolneciągłeodwzorowanieF:[0,1]2→W,takieżedladowolnych0sr,ts1
zachodzi
F(0,t)=p(t),
F(1,t)=q(t),
F(r,0)=F(r,1).
Pętlenazywamyhomotopijnymi,jeśliistniejehomotopiajełącząca.
Lemat.Trasyprzepłynięteprzezrybęwdwóchkolejnychdniachsąhomotopijne.
Dowód.NiechpiqbędątakimitrasamiiniechH:[0,1]2→Wbędziedanawzo-
remH(r,t)=(1-r)p(t)+rq(t).ObrazHjestzawartywW,gdyżrybawkażdym
momenciewidzipunkt,wktórymbyładokładniedobęwcześniej,cooznacza,że
odcinekłączącyp(t)iq(t)jestzawartywWdladowolnegot.Łatwosprawdzić,
żeHjestwówczashomotopiąłączącąpiq.
□
Relacjahomotopiijestrelacjąrównoważności,więcjeślitrasyprzepłynięte
przezjednąrybęwdwóchkolejnychdniachsąhomotopijne,tohomotopijne
sąrównieżdwietrasyprzepłynięteprzezniąwdowolnychdniach.Kończyto
dowódimplikacji„wprawo”wnaszymtwierdzeniu.
Zauważmy,żewaruneknałożonynatrasyrybwdwóchkolejnychdniach
oznaczadokładnie,żeistniejehomotopialiniowawzględemrjełącząca.Trasy
sąwięcrównoważnewtedyitylkowtedy,gdyistniejehomotopiakawałkami
liniowajełącząca(dodatkowowymagamy,abyH(r)byłopoprawnątrasądla
rbędącychpunktamisklejenialiniowychfragmentów).Nietrudnouwierzyć,
żeistnieniedowolnejhomotopiiwWłączącejdwietrasyimplikujeistnieje
homotopiiwymaganejpostaci,czegojednakniezamierzamdowodzić.
marcinandrychowicz/ryby
41
