Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
(
(
x
,
y
)(
x
!
,
y
!
)
)(
±
x
x
!
)(
+
y
y
!
)
,iloczynskalarnywprzestrzeni
H®
'
H
"
Jeżeli
Hmawymiarn,H!
'
!mawymiarm,toprzestrzeńHmawymiarn+mi
Określenie1i2
IloczynemtensorowymprzestrzeniHilberta
H
'
iH!
!nadtymsamymciałemskalarów
nazywamyprzestrzeńHilberta
H
±
H
!
®
H
!
!
,którajestgenerowanaprzezbazępostaci:
jeżeli
x
1
,
x
2
,
...
,
x
n
jestbaząprzestrzeni
H,aelementy
'
y
1
,
y
2
,
...
,
y
n
tworząbazęprzestrzeniH!
!,
tobaząBprzestrzeniHjest
B
±
{
(
x
i
,
y
j
)
:
i
±
1
,
n
,
j
±
1
,
m
}
Oznaczato,żedowolnyelementzprzestrzeniH(
zE
H
)jestzadanyformułą
z
±
Σ
n
Σ
m
O
ij
(
x
i
,
y
j
)
±
Σ
n
Σ
m
O
ij
(
x
i
®
y
j
)
i
±
1
j
±
1
i
±
1
j
±
1
O
ij
-skalari
(1i1)
(1i2)
ElementybazyB
postaci
(
x
iy
,
j
)
oznaczanesąrównieżnastępująco:
x®
i
y
j
inazywane
iloczynemtensorowymwektorówbazowych
Jeżeli
Hmawymiarn,H!
'
!mawymiarm,toprzestrzeńHmawymiarnXmi
Dlastanów
x
E
H
!
,któreniesąbazoweorazstanów
y
E
H
!
!
,któreteżniesąbazowe,
definiujesięnastępującyiloczyntensorowytychwektorówi
Określenia1i3
n
m
Iloczynemtensorowymwektorów
x
±
Σ
O
ix
i
,
x
E
H
!
oraz
y
±
Σ
B
jy
j
,
y
E
H
!
!
nazywamy
i
±
1
j
±
1
wielkość(formadwuliniowa)
x
®
y
±
Σ
n
Σ
m
O
i
B
j
(
x
i
®
y
j
)
±
Σ
n
Σ
m
O
i
B
j
(
x
i
,
y
j
)
i
±
1
j
±
1
i
±
1
j
±
1
(1i3)
Przyczymwektory
x
1
,
x
2
,
...
,
x
n
stanowiąbazęprzestrzeniH!,awektory
y
1
,
y
2
,
...
,
y
m
stanowiąbazęprzestrzeniH!
!
Pamiętajmy,żeiloczyntensorowywektorówbazowych
xoraz
i
yjestpostaci
j
(
x
iy
,
j
)
i
Okazujesię,żeniewszystkieelementyprzestrzeni
H
±
H
!
®
H
!
!
dasięprzedstawić
wpostaciiloczynutensorowegopewnychwektorów
x
E
H
!
oraz
y
E
H
!
!
,tzniwpostaci(1i3)i
Określenie1i4
Wektorem(elementem)rozkładalnymzprzestrzeni
H
±
H
!
®
H
!
!
nazywamytakielement
tejprzestrzeni,którydajesięprzedstawićwpostaci
