Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
U→o
lim
|0(x+u)−0(x)−d0x(u)|
|u|
=0j
przyporządkowujewektorowiu∈T(Rn)pochodnąkierunkową
d0x(u)=lim
t→o
0(x+tu)−0(x)
t
.
Macierzróżniczkioznaczanasymbolem
0′(x)=[
∂0i
∂xj
(x)]
nazywasięmacierząJacobiego1.Jeślin=m,towyznacznikJ0(x):=
:=det0′(x)macierzyJacobiego0′(x)nazywasięjakobianemprzekształcenia
0wpunkciex.
1.4.Definicja.
Jeżeliprzypowyższychoznaczeniachm=n,zaś0jestgład-
kieiprzekształcazbiórotwartyWwzajemniejednoznacznienazbiórotwarty
0(W)orazprzekształcenieodwrotne011:0(W)→Wjestgładkie,to0
nazywasiędyfeomorfizmemlubukłademwspółrzędnychnaW.
1.5.Uwaga.
Różniczkazłożeniaprzekształceńjestrównazłożeniuróżniczek
tychprzekształceń:d(0◦w)p=d0Ψ(p)◦dwp.ZatemmacierzeJacobiegospeł-
niająwzórnapochodnązłożenia(0◦w)′(p)=0′(w(p))·w′(p).Wynikaznie-
gowszczególności,żejakobianJ0(x)dyfeomorfizmu0wdowolnympunkcie
x∈Wjestróżnyodzera.Bardzoważnejestnastępującetwierdzenieodwrotne
dotegofaktu:
1.6.Twierdzenie(oodwzorowaniuodwrotnym).
JeśliW⊂Rnjest
podzbioremotwartym,xo∈W,a0:W→Rnjestprzekształceniemgład-
kimorazJ0(xo)/=0,toistniejeotoczenieWo⊂Wpunktuxoprzekształcane
dyfeomorficzniena0(Wo),tzn.takie,że0|W
0:Wo→0(Wo)jestdyfeomorfi-
zmem.✷
1.7.Definicja.
Niechp:U→Rnbędziegładkimprzekształceniemokreślo-
nymnaotwartympodzbiorzeUprzestrzeniRm.Przekształceniepnazywasię
immersjąwpunkcieu∈Uwtedyitylkowtedy,gdydpu:T(Rm)→T(Rn)
jestmonomorfizmem(wtedywszczególnościm<n).Przekształceniepnazywa
sięimmersją,jeślijestimmersjąwkażdympunkcieu∈U.
1CarlGustavJacobJacobi(1804–1851),matematykpochodzeniażydowskiego,wykładał
wBerlinieiKrólewcu,jedenztwórcówteoriifunkcjieliptycznych.Publikowałpracetakże
zteoriiliczb,równańróżniczkowychcząstkowychimechanikianalitycznej.Wyznacznikzwany
dzisiajjakobianemrozpatrywałjużwcześniejA.Cauchy.
