Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
31
(I.5-8)
zktóregobezpośredniowynika,żemacierzD(R)zachowującaortogonalnośćfunkcjimusi
spełniaćwarunekunitarnościD†(R)=D-1(R).
Spróbujmyterazdokonaćpewnegopodsumowania.RozwiązującrównanieSchrödingera
(I.5-4),otrzymujemynaogółnieskończeniewielefunkcjiwłasnych.Funkcjetesąbazą
przestrzeniwektorowej,toznaczy,żedowolnąfunkcję(wektor)wtejprzestrzenidajesię
przedstawićjakokombinacjęliniowąfunkcjiwłasnychrównania(I.5-4).Analizująctębazępod
kątemwłasnościtransformacyjnych,stwierdzimy,żepewnezespołyfunkcjibazybędąsię
przekształcaćwpodobnysposób.Itaknaprzykład,możesięzdarzyć,żepewnefunkcje
niezdegenerowanebędąsiętransformowałynasiebie,niezmieniającznakuprzywszystkich
transformacjach,zaśinnefunkcjeniezdegenerowanezmieniąznakpotransformacji.Jeśli
cząsteczkamastanyzdegenerowane,tostwierdzilibyśmyzcałąpewnością,żefunkcjetych
stanówprzekształcająsięnasiebiepoddziałaniemoperatorówgrupy.Powiedzmytojeszcze
inaczej.Działającoperatoramigrupynafunkcjenależącedodanegomultipletu,otrzymamy
wwynikujedynieliniowekombinacjefunkcjinależącedotegomultipletu.Otakimzbiorze
funkcjitransformującymsięnasiebiemówimy,żetworząbazęniezmienniczej(pod)
przestrzeniwektorowej.Otóż,zadaniemteoriigrupjestmiędzyinnymiznalezienie
wszystkichpodprzestrzeniniezmienniczych,naktóremożemyrozłożyćbazęcałejprzestrzeni
wyznaczonejrozwiązaniamirównania(I.5-4).Okazujesię,żepodziałutakiegomożnadokonać,
gdynieznamywszystkichrozwiązańrównania(I.5-4),atakżewtedy,gdyotrzymanefunkcje
sąjedyniefunkcjamiprzybliżonymi.Rzeczwtym,żerozkładbazycałejprzestrzeni
wektorowejnabazywszystkichpodprzestrzeniniezmienniczychokreślonyjestjedynie
strukturąalgebraicznągrupy,względemktórejhamiltonianjestniezmienniczy.Problemami
tymizajmujemysięwnastępnychparagrafach.
Nazakończeniewartozwrócićuwagęnajeszczejedenważnyfakt.Otóż,mówiąc
ooperatorachsymetriiwrozważaniachtegoparagrafu,mieliśmygłównienamyślioperatory
symetriigruppunktowych.Chodziłogłównieoto,abyczytelnikzrozumiałpodstawową
zasadę.Oczywiściepojęciesymetriijestznacznieszersze,niżtomogłobywynikaćznaszych
rozważań.Itaknaprzykład,hamiltonianukładufizycznegooLelektronachjestniezmienniczy
względemprzenumerowania(permutacji)współrzędnychelektronów.Możnasięotym
przekonać,zmieniającnaprzykładwspółrzędnek-tegoim-tegoelektronuwhamiltonianie
(I.5-1).Tosamomoglibyśmypowiedziećowspółrzędnychjądertegosamegorodzaju
wcząsteczce.Ponieważzbiórpermutacjijednakowychcząstektworzygrupę,stanyukładu
jednakowychcząstekmożemyklasyfikowaćzewzględunasymetriępermutacyjną(grupę
symetryczną)cząsteczki.OtymzagadnieniumówimywkilkusłowachwproblemachI.P5oraz
III.P6.Wreszcie,gdybyśmychcieliwbadanejcząsteczcewłączyćsprzężeniespinowo-
orbitalne,tomusielibyśmydodaćdohamiltonianu(I.5-1)dodatkowyczłonzwiązanyztym
sprzężeniem.Człontenbyłbypostaci:
(I.5-9)
