Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ANALIZAZESPOLONA
Wszkolepodstawowej,anastępnieśredniejpoznawaliśmyrozszerzenia
pojęcialiczby,począwszyodnaturalnej,całkowitej,wymiernejdorzeczywis-
tej.Powodembyłaniewykonalnośćokreślonychdziałań.Takwięczbiórliczb
wymiernychokazałsięniewystarczający,ponieważniezawierałnaprzykład
takichliczb,którychkwadratrównałsię2.Wspomnianybrakliczbwymier-
nychusunięto,dołączającdonichzbiórliczbniewymiernych;takrozszerzony
zbiórliczbjestzbioremliczbrzeczywistych.Zkolei,spośródliczbrzeczywis-
tychniematakiejliczby,którejkwadratrównasięnp.Ŧ1(ogólniej,liczbie
rzeczywistejujemnej).Właśniepotrzebawykonywaniapierwiastkowaniakwa-
dratowegozliczbujemnychdoprowadziładowprowadzeniarozszerzenialiczb
rzeczywistychdonowegozbioruliczbzespolonych,oznaczanegoprzez
.
Zbiórtentworzyciało,azbiórliczbrzeczywistych
jestjegowłaściwym
podzbiorem(podciałem)idziałaniaarytmetycznewzbiorze
sązgodne
zdziałaniamiwzbiorze
.Ciałoliczbzespolonychjesttakimrozszerzeniem
ciałaliczbrzeczywistych,abyrównanie
miałownimpierwiastki.
Dodajmyjednak,żerozszerzenietoniezachowujeporządku,tzn.wciele
liczbzespolonychniedasięokreślićrelacjimniejszości<lubwiększości>
analogicznejdowprowadzonejdlaliczbrzeczywistych.Bardzoważnąwłas-
nośćciała
podajetzw.zasadniczetwierdzeniealgebry:każdywielomian
stopniadodatniegoowspółczynnikachzespolonychmapierwiastekwciele
liczbzespolonych.Wynikastądwłatwysposób,żemadokładnietylepier-
wiastków(niekoniecznieróżnych,zuwzględnieniemkrotności),ilewynosi
jegostopień.Twierdzeniepowyższemacharakteregzystencjalnyiniepodaje
metodywyznaczaniapierwiastków.Okazujesię,żemożnapodaćtylkoogólne
metodyrozwiązywaniarównańwielomianowychdostopniaczwartego.
Analizazespolona,obejmującaliczbyifunkcjezespolonewrazzrachun-
kiemróżniczkowymicałkowym,występujewwieluzagadnieniachfizycz-
nych,główniewhydromechaniceielektrotechnice.Jestjednymzniezbędnych
narzędzimatematycznychwanaliziematematycznejipozwalanaznaczne
uproszczeniarachunkowe,pełnepoznanieorazzrozumienietychproblemów,
którewdziedzinieliczbrzeczywistychniesąwidoczne.
5
