Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
I0Elementyteoriigrup
Częśćpierwszajestwstępemdoteoriigrupipodzielonajestnapięćroz-
działów.Zakładamy,żeCzytelnikzapoznałsięzpojęciemgrupyipomijamy
dowodynajprostszychwłasności.
Wrozdzialepierwszympodajemyserięważnychprzykładówgruporaz
określeniapodstawowychpojęć,takichjak:podgrupa,warstwa,indeks,rząd.
Szczególnąuwagępoświęcamygrupompermutacjizbiorówskończonych
orazgrupomizometriiwłasnychwielokątówforemnych,zwanychgrupami
diedralnymi.DowodzimytwierdzenieLagrange’austalającezwiązekmiędzy
rzędemgrupyarzędemiindeksempodgrupy.Wyjaśniamypojęcieizomorfi-
zmugruporazopisujemy,zdokładnościądoizomorfizmu,wszystkiegrupy
cykliczne.Wdalszejkolejnościomawiamyskończonegrupycykliczne,wyja-
śniającmiędzyinnymistrukturępodgrupgrupcyklicznych.
Wrozdzialedrugimwyróżniamypojęciepodgrupynormalnej,zwanej
równieżdzielnikiemnormalnym.Wprowadzamyidowodzimypodstawowe
własnościhomomorfizmówgrup.Przedstawiamykonstrukcjęgrupyilora-
zowejidowodzimytwierdzenieoizomorfizmiedlagrupwrazzjegokonse-
kwencjami.
Wrozdzialetrzecimomawiamykonstrukcjezewnętrznegoiwewnętrznego
iloczynuprostegogrup.Głównymcelemjesttutwierdzenieostrukturzeskoń-
czonychgrupabelowych;dowodzimy,żekażdaskończonagrupaabelowa
jestiloczynemprostymgrupcyklicznych.
Wrozdzialeczwartymwprowadzamypojęciedziałaniagrupynazbiorze
ipojęciaznimpowiązane,takiejak:orbita,stabilizator,punktstałydzia-
łania.DowodzimylematBurnside’aoliczbieorbitdziałania,mającyliczne
zastosowaniawteoriigrupipozanią.Opisujemygrupyobrotówwielościa-
nówforemnychorazpokazujemykilkazagadnieńnaturykombinatorycznej,
wktórychstosujemylematBurnside’a.
Wostatnimrozdziale,przedstawiamydalszezastosowaniadziałańgrup
nazbiorach.Dotycząoneopisustrukturygrupskończonych.Dowodzimy
twierdzenieCauchy’egooistnieniuelementówdowolnegorzędupierwszego,
dzielącegorządgrupy.NastępnieprzedstawiamydowódtwierdzeniaSylowa
omaksymalnych
p
-podgrupach,czylipodgrupachrzędubędącegopotęgą
liczbypierwszej
p
.Omawiamypojęciegrupyprostej,czyligrupybezwłaści-
wychpodgrupnormalnych.Dowodzimy,żegrupyalternujące
An
sąproste
dla
n⩾5
.Następnie,używająctwierdzeniaSylowa,analizujemystrukturę
pewnychgrupskończonychozadanymrzędziegrupy.
