Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Elementylogikiiteoriizbiorów
19
Międzyzbioramizachodziszeregrelacji,któremożnasprawdzić,korzystając
zrachunkuzdańirachunkukwantyfikatorów.
Przykład8.Sprawdzimy,że
(A∪B)\C=(A\C)∪(B\C).
Wystarczyudowodnić,żex∈(A∪B)\Cwtedyitylkowtedy,gdyx∈(A\C)∪
(B\C).Dowodzimytegozapomocąnastępującegociągurównoważności:
x∈(A∪B)\C⇔x∈A∪B∧x/∈C⇔(x∈A∨x∈B)∧x/∈C
⇔(x∈A∧x/∈C)∨(x∈B∧x/∈C)
⇔x∈A\C∨x∈B\C
⇔x∈(A\C)∪(B\C).
Wdowodziewykorzystaliśmyprawologiczne(p∨q)∧r⇔(p∧r)∨(q∧r).
Przykład9.Sprawdzimy,że
A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).
Istotnie,
x∈A\(B∩C)⇔x∈A∧x/∈(B∩C)⇔x∈A∧Źx∈B∩C
⇔x∈A∧Ź(x∈B∧x∈C)⇔x∈A∧(Źx∈B∨Źx∈C)
⇔x∈A∧(x/∈B∨x/∈C)
⇔(x∈A∧x/∈B)∨(x∈A∧x/∈C)
⇔x∈A\B∨x∈A\C⇔x∈(A\B)∪(A\C).
JeżeliaibsąelementamizbiorówAiB,tosymbolem(ajb)będziemyoznaczać
uporządkowanąparęaib.IloczynkartezjańskiA×Bdefiniujemynastępująco:
A×B={(ajb):a∈A∧b∈B}.
PodobniedlazbiorówA1j...jAndefiniujemyiloczynkartezjańskiA1×...×An:
A1×...×An={(a1j...jan):a1∈A1j...jan∈An}.
Nazbiorachmożnawykonywaćrównieżdziałanianieskończone.Jeżeli{At}t∈T
jestrodzinązbiorów,tosumęiiloczyntejrodzinydefiniujemynastępująco:
t∈T
U
At={x:V
t∈T
x∈At}j
t∈T
Π
At={x:^
t∈T
x∈At}.
