Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Zbioryliczbowe
33
dodawaniaimnożeniasą„ciałami”liczbowymi.Definicjęciałapoprzedzimyde-
finicjądziałania.
Działaniem(dwuargumentowym)wzbiorzeKnazywamydowolneprzekształ-
cenieF:K×K→K.Dladowolnejpary(ajb)∈K×KelementF(ajb)nazy-
wamywynikiemdziałania.Działaniaoznaczamyzwyklesymbolami+j−j·j×j◦
itp.Wynikdziałania+(−,◦itp.)naparze(ajb)oznaczamyprzeza+b(a−b,
a◦bitp.).
CiałemnazywamydowolnyzbiórKzawierającyconajmniejdwaelementy:
elementzerowy0ielementjedynkowy1,wktórymsąokreślonedziałaniadoda-
wania+imnożenia·spełniającenastępującewarunki:
(C1)
a+(b+c)=(a+b)+c(łącznośćdodawania),
(C2)
a+b=b+a(przemiennośćdodawania),
(C3)
0+a=a+0=a(0jestelementemneutralnymdodawania),
(C4)
A
V
a+b=0(istnienieelementuprzeciwnego),
l
b
(C5)
a·(b·c)=(a·b)·c(łącznośćmnożenia),
(C6)
a·b=b·a(przemiennośćmnożenia),
(C7)
1·a=a·1=a(1jestelementemneutralnymmnożenia),
(C8)
A
V
a·b=1(istnienieelementuodwrotnego),
l/=o
b
(C9)
a·(b+c)=a·b+a·c(rozdzielnośćmnożeniawzględemdodawania).
Wzapisiewarunków(C1)–(C3),(C5)–(C7)i(C9)niemakwantyfikatorów.W
takichprzypadkachprzyjmujemyzasadę,żewarunkizachodządlawszystkich
wartościzmiennych.
Ciałomożemiećtylkojedenelementzerowyijedenelementjedynkowy.Istot-
nie,jeżeli0i0!sąelementamizerowymi,tozwarunku(C3)mamy0+0!=0oraz
0+0!=0!,astąd0=0!.Analogicznie,korzystajączwarunku(C7),sprawdzamy
jedynośćelementujedynkowego.
Uwaga1.ZbiórKzdziałaniemdodawaniaizelementemneutralnym0
spełniającywarunki(C1),(C3)i(C4)nazywamygrupą.Jeżeligrupaspełnia
dodatkowowarunek(C2),tonazywamyjągrupąprzemiennąalboabelową.
Zwłasności(C1)–(C4)wynika,żedladowolnegoelementua∈Kistniejedo-
kładniejedenelementprzeciwnyb∈K,tj.spełniającywaruneka+b=0.Istot-
nie,gdybyistniałydwaelementyb∈K,b!∈Ktakie,żea+b=0ia+b!=0,
tomielibyśmy
b=b+0=b+(a+b
!)=(b+a)+b!=(a+b)+b!=0+b!=b!.
Zatemb=b!.Elementprzeciwnydoaoznaczamyzwykleprzez−a.Wcielemożna
wprowadzićdziałanieodejmowania:a−b=a+(−b).
Zwarunków(C5)–(C8)łatwowywnioskować,żedladowolnegoa/=0istnieje
dokładniejedenelementodwrotnyb,tj.spełniającywaruneka·b=1.Element
