Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
ZADANIA•1.LICZBYRZECZYWISTE
1.2.36.Wykazać,żedlan≥2prawdziwajestnierówność
k=o(
Π
n
n
k)≤(2n12
n11)
n11
.
1.2.37.Niechak,kl1,2,...,n,będąliczbamirzeczywistymidodatnimiiniech
Anoznaczaśredniąarytmetycznątychliczb.Wykazać,żedladowolnejliczby
naturalnejp>1prawdziwajestnierówność
k=1
Σ
n
A
p
k≤
p11
p
k=1
Σ
n
A
p11
k
ak.
1.2.38.Załóżmy,żeak,kl1,2,...,n,sąliczbamidodatnimiiprzyjmijmy
ala1+a2+...+an.Wykazać,że
n11
k=1
Σ
akak+1≤
a2
4
.
1.2.39.Udowodnić,żejeślib1,b2,...,bnjestukłademliczbpowstałymprzez
dowolneprzestawieniedanychliczbdodatnicha1,a2,...,an,to
a1
b1
+
a2
b2
+...+
an
bn
≥n.
1.2.40.Załóżmy,że0<ak<1dlakl1,2,...,noraza1+a2+...+an<1.
Udowodnić,żenierównościWeierstrassa:
n
n
(a)1+
Σ
ak<
Π
(1+ak)<
1
11
k=1
Σ
n
ak
,
k=1
k=1
n
n
(b)1−
Σ
ak<
Π
(1−ak)<
1
1+
k=1
Σ
n
ak
k=1
k=1
sąprawdziwe.
1.2.41.Załóżmy,że0<ak<1dlakl1,2,...,noraza1+a2+...+anla.
Wykazać,że
k=1
Σ
n
11ak
ak
≥
n1a
na
.
1.2.42.Załóżmy,że0<ak≤1dlakl1,2,...,n,n≥2.Udowodnić,że
następującanierówność
k=1
Σ
n
1+ak
1
≤
k=1
Σ
n
ak+n
n
k=1
Σ
n
ak
k=1
Π
n
ak
jestprawdziwa.
