Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
ZADANIA•2.CIĄGILICZBRZECZYWISTYCH
2.1.21.Niechabędziedowolnieustalonąliczbąrzeczywistąiniechwyrazyciągu
{an}spełniająwarunek
an+1la
2
n+(1−2a)an+a
2,
n∈N.
Dlajakicha1ciągtenjestokreślonyizbieżny?Wprzypadkuzbieżnościobliczyć
jegogranicę.
2.1.22.Niechc>0,b>a>0będądowolnieustalone.Ciąg{an}określamyw
następującysposób:
a1lc,
(a+b)an+1la
2
n+ab,
n∈N.
Zbadaćzbieżnośćtegociąguiobliczyćjegogranicęwzależnościodstałych
a,b,c.
2.1.23.Wykazaćzbieżnośćciągu{an}określonegoindukcyjnie
a1>0,
an+1l6
1+an
7+an
,
n∈N
iobliczyćjegogranicę.
2.1.24.Niechc≥0będziedowolnieustalone.Określmyciąg{an}następująco:
a1l0,
an+1l√c+an,
n∈N.
Zbadaćzbieżnośćtegociąguiobliczyćjegogranicę.
2.1.25.Zbadaćzbieżnośćciąguokreślonegownastępującysposób:
a1l√2,
iobliczyćjegogranicę.
an+1l√2an,
n∈N
2.1.26.Niechk∈Nbędziedowolnieustalone.Określmyciąg{an}następująco:
a1l
√5,
k
an+1l
√5an,
k
n∈N.
Zbadaćzbieżnośćtegociąguiobliczyćjegogranicę.
2.1.27.Zbadaćzbieżnośćciągu{an}określonegorekurencyjnie
1≤a1≤2,
a2
n+1l3an−2,
n∈N
iobliczyćjegogranicę.
2.1.28.Niechc>1będziedowolnieobrane.Określmyciągi{an}oraz{bn}
następująco:
(a)a1ldc(c−1),
an+1ldc(c−1)+an,n≥1,
(b)b1l√c,
bn+1l√cbn,n≥1.
Udowodnić,żeciągitesązbieżneimająwspólnągranicęrównąc.
