Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Funkcjonałydwuliniowe
1.1.Własnościfunkcjonałówdwuliniowych
1.1.Wykazać,żejeślig:V×V→Rjestfunkcjonałemdwuliniowym,todla
dowolnychxjy∈V,o∈R,spełnionyjestwarunekg(oxjoy)=o2g(xjy).
1.2.Wykazać,żejeślig:V×V→Rjestantysymetrycznymfunkcjonałem
dwuliniowym,tog(xjx)=0dlakażdegox∈V.
1.3.Niechg:V×V→Rbędziefunkcjonałemdwuliniowym.Wykazać,że:
a)g1(xjy)=1
2(g(xjy)+g(yjx))jestdwuliniowymfunkcjonałemsymetrycz-
nym;
b)g2(xjy)=1
2(g(xjy)−g(yjx))jestdwuliniowymfunkcjonałemantysy-
metrycznym.
1.4.Udowodnić,żedowolnyfunkcjonałdwuliniowyg:V×V→Rmożna
przedstawićwpostacig=g1+g2,gdzieg1jestfunkcjonałemsymetrycznym,
ag2jestfunkcjonałemantysymetrycznym.
1.5.Niechg:R2×R2→R,g(xjy)=2x1y1+x1y2−4x2y2.Wyznaczyć
macierzgwbazie:
a)kanonicznej,b)([1
2]j[1
1]),c)([−1
0]j[1
1]).
1.6.Wykazać,żeg:R3×R3→R,
g(xjy)=3x1y1+2x1y2−2x1y3+2x2y1−2x3y1
jestfunkcjonałemdwuliniowymsymetrycznym.WyznaczyćbazęprzestrzeniR3,
wktórejgmamacierzdiagonalną.
1.7.Wykazać,żefunkcjonałdwuliniowyg:R3×R3→Rjestsymetryczny
orazwyznaczyćbazęprzestrzeniR3,wktórejgmamacierzdiagonalną,jeśli:
a)g(xjy)=x1y1−2x2y2+x3y3−2x1y2−2x2y1,
b)g(xjy)=x1y1+x2y2−2x3y3−2x1y3−2x3y1.
