Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
Niech
działaniemnożeniaw
pierwsze.
Twierdzenie2030
n∈N−{0}
iniech
Zn
wtedyitylkowtedy,gdyliczby
a∈Zn
.Element
a
jestodwracalnyzewzględuna
a
i
n
sąwzględnie
Rozdział2.Grupy
Przykład2040
(Z10,·)
niejestgrupą(elementemneutralnymdlamnożeniajest
1
,nie
istniejeelementodwrotnydoelementu
2
).Także
(Z′
10,·)
,gdzie
Z′
10=Z10−{0}
,nie
jestgrupą.Grupąprzemiennąnatomiastjest
(Z∗
10,·)
,gdzie
Z∗
10={1,3,7,9}
.Łatwo
takżezauważyć,żeelementy
1,3,7
i
9
zbioru
Z∗
10
towszystkieelementyodwracalne
dlamnożeniazbioru
Z10
.Zbiór
{1,3,7,9}
tonajwiększypodzbiórzbioru
Z10
,który
jestgrupąmultiplikatywną.
Dowódtwierdzenia2.3.Przypuśćmy,żeliczbacałkowita
a
jestodwracalnazewzględu
namnożeniew
Zn1
.Wówczasistnieje
b∈Z
,takieże
ba≡1
(mod
n
),czyli
ba=1+kn
dlapewnego
k
całkowitego.Wtedy
ba+(−k)n=1
,awięc
ain
wobecwniosku
1.10.
Jeśli
ain
to,namocywniosku1.10,istnieją
I
i
β
całkowite,takieże
Ia+βn=1
.
Stądwynika,że
Ia≡1
(mod
n
),czyli
I
jestelementemodwrotnymdo
a
modulo
n
.
Niechn∈N.Defniujemy
Dladowolnegon∈N−{0},(Z∗
Definicja2040
Twierdzenie2050
Z∗
n={a∈Zn:ain}.
n,·)jestgrupąprzemienną.
Dowód0Łącznośćmnożeniawzbiorze
Z∗
n
wynikazłącznościmnożeniawzbiorze
liczbcałkowitych.Elementemneutralnymdlamnożeniaw
Z∗
n
jest
1
.Ztwierdzenia2.3
wynika,żekażdyelement
Z∗
n
jestodwracalny.Pozostajewięcsprawdzić,czymnożenie
jestdziałaniemwZ∗
n.
Niech
a,b∈Z∗
n
.Chcemyudowodnić,że
ab∈Z∗
n
czyli,że
abin
.Zwniosku1.10
wiemy,żeistniejącałkowiteliczbys,t,uorazo,takieże
sa+tn=1
1
Oczywiścieliczbycałkowiteniesąelementami
Zn
,natomiastsąelementami
Zn
ichklasymodulo
n
.
