Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.FunkcjaφEulera
oraz
ub+on=1.
Stąd
1=(su)ab+nI,
27
gdzie
I=tub+ton+sao
.Terazzwniosku1.10wynika,że
abin
,cokończy
dowód.
Wdalszymciągu,zakażdymrazempisząc
Zn
,będziemymiećnamyśligrupę
Zn
zdziałaniemdodawania,natomiastprzez
Z∗
n
rozumiećbędziemygrupę
Z∗
n
zdziała-
niemmnożenia.Powiemywięc,żeelementemodwrotnymdo
elementemodwrotnymdo
4
jest
1
,wówczasbowiem,zakładamy,żedziałaniemw
4
w
Z∗
5
jest
4
,zaśw
Z∗
Z5
5
jestmnożenie,adziałaniemwZ5jestdodawanie(modulo5).
2.1.FunkcjaφEulera
Większośćprzykładówgrup,októrychmówiliśmyinadalmówićbędziemy,to
grupyoskończonejliczbieelementów.Takiegrupynazywamygrupami
skończonymi
.
Liczbęelementówgrupyskończonejnazywamyrzędemgrupy.Rządgrupy
G
ozna-
czamyprzez|G|.
OczywiścierzędemgrupyZnjestn.GrupyZ∗
5,Z∗
8iZ∗
10sąrzędu4.
Niech
n∈N−{0}
.Przez
φ(n)
oznaczamymoczbioruliczbnaturalnychnie
większychod
n
,któresąwzględniepierwszez
n
.Możnatędefnicjęzapisaćwzorem
φ(n)=|{k∈N:k⩽n,kin}|.
TakzdefniowanąfunkcjęφnazywamyfunkcjąφEulera.
Następnetwierdzeniewynikabezpośrednioztwierdzenia2.5.
Dlakażdejliczbynaturalnejn⩾2
Twierdzenie206(orzędzieZ∗
n)0
φ(n)=|Z∗
n|.
Przykład205(własnościfunkcji
φ
Eulera)0Niech
p
będzieliczbąpierwszą.Złatwością
możnasprawdzićnastępującezwiązki.
–φ(p)=p−1,
–φ(p2)=p2−p,
–φ(pn)=pn−pn−1,
–
jeślitakże
!
jestliczbąpierwszą,
!
̸=
=(p−1)(!−1).
p
,to
φ(p!)
=
φ(p)φ(!)
=
