Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
(d)SkoroCo⊂CiCjestwypukły,mamy
tCo+(1−t)Co⊂C
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
dla0<t<1.Obydwazbiorypolewejstroniesąotwarte,azatemichsuma
równieżjestotwarta.PonieważkażdyotwartypodzbiórCjestpodzbiorem
Co,widzimy,żeCojestwypukły.
(e)Jeśli0<|O|≤1,toOBo=(OB)o,gdyżxl→Oxjesthomeomorfi-
zmem.StądmamyOBo⊂OB⊂B,jakożeBjestzbalansowany.ZbiórOBo
jestotwartympodzbioremB,awięcjestpodzbioremBo.JeśliBozawiera
0,tomamyOBo⊂BotakżedlaO=0.
(f)NiechVbędzieotoczeniemzera.Namocytwierdzenia1.11V⊃W
dlapewnegootoczeniazeraW.ZbiórEjestograniczony,azatemE⊂tW
dladostateczniedużycht.PrzytakichwłaśnietmamyE⊂tW⊂tV.
I
1.14.Twierdzenie.WprzestrzeniliniowotopologicznejX
(a)każdeotoczeniezerazawierazbalansowaneotoczeniezera;
(b)każdewypukłeotoczeniezerazawierazbalansowane,wypukłeotoczenie
zera.
Dowód.(a)NiechUbędzieotoczeniemzerawX.Skoromnożenieprzez
skalaryjestciągłe,istniejeδ>0orazotoczeniezeraVtakie,żeOV⊂U,
jeślitylko|O|<δ.NiechWbędziesumąwszystkichzbiorówpostaciOV.
WówczasWjestotoczeniemzera,jestzbalansowanyiW⊂U.
(b)NiechUbędziewypukłymotoczeniemzerawX.NiechA=ΠOU,
gdzieOprzebiegawszystkieskalaryowartościbezwzględnej1.Terazweź-
myWtakiejakwdowodziepunktu(a).ZbiórWjestzbalansowany,więc
O11W=W,jeśli|O|=1.StądW⊂OUdlawszystkichOomodule1,czyli
W⊂A.Toimplikuje,żewnętrzeAjestotoczeniemzera.Oczywiściemamy
Ao⊂U.ZbiórAjestwypukłyjakoprzecięciezbiorówwypukłych,awięcAo
teżjestwypukły.Dowykazania,żeAojestszukanymotoczeniem,pozostaje
jużtylkodowódzbalansowaniaAo.WybierzmyTiβtakie,że0≤T≤1
i|β|=1.Wtedy
TβA=Π
TβOU=Π
TOU.
|o|=1
|o|=1
PonieważOUjestzbioremwypukłymzawierającym0,mamyTOU⊂OU.
StądTβA⊂A,cokończydowód.
I
Twierdzenie1.14możnasformułowaćrównieżwterminachbazotoczeń.
Powiemy,żebazaotoczeńBjestzbalansowana,jeśliwszystkieelementyB
sązbioramizbalansowanymi.Podobniepowiemy,żeBjestwypukła,jeśli
wszystkieelementyBsąwypukłe.
Wniosek
(a)Każdaprzestrzeńliniowotopologicznamazbalansowanąbazęotoczeń.
