Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
będzieoznaczać,żefjestodwzorowaniemXwY.JeśliA⊂XorazB⊂Y,
toobrazf(A)podzbioruAiprzeciwobrazf11(B)podzbioruBdefiniujemy
wnastępującysposób:
f(A)={f(x):x∈A}j
f11(B)={x:f(x)∈B}.
Załóżmyteraz,żeXiYsąprzestrzeniamiliniowyminadtymsamym
ciałemskalarów.OdwzorowanieA:X→Ynazywamyliniowym,jeśli
A(Ox+βg)=OA(x)+βA(g)
dlawszystkichxigwXiwszystkichskalarówOiβ.Zwykleużywasię
notacjiAxwmiejsceA(x),gdyAjestliniowe.
OdwzorowanialinioweprzestrzeniliniowejXwciałoskalarównazywa-
myfunkcjonałamiliniowymi.
OperatorymnożeniaMosąodwzorowaniamiliniowymi,aleoperator
translacjiTajestliniowywtedyitylkowtedy,gdya=0.
OtolistaniektórychwłasnościodwzorowańliniowychA:X→Y,któ-
rychdowodysątakłatwe,żepominiemyje(zakładamy,żeA⊂XiB⊂Y):
(a)A0=0.
(b)JeśliAjestpodprzestrzenią(zbioremwypukłym,zbioremzbalansowa-
nym),toA(A)również.
(c)JeśliBjestpodprzestrzenią(zbioremwypukłym,zbioremzbalansowa-
nym),toA11(B)również.
(d)Wszczególnościzbiór
A11({0})={x∈X:Ax=0}=N(A)
jestpodprzestrzeniąwX,zwanąjądremodwzorowaniaA.
Zajmiemysięterazwłasnościamiciągłościodwzorowańliniowych.
1.17.Twierdzenie.NiechXiYbędąprzestrzeniamiliniowotopologicznymi.
JeśliA:X→Yjestodwzorowaniemliniowymciągłymwpunkcie0,toAjest
ciągłe.PonadtoAjestjednostajnieciągłewnastępującymsensie:Każdemu
otoczeniuzeraWwprzestrzeniYodpowiadaotoczeniezeraVwXtakie,
że
g−x∈Vimplikuje,żeAg−Ax∈W.
Dowód.UstalamyotoczeniezeraW.CiągłośćAw0implikuje,żeAV⊂W
dlapewnegootoczeniaVzerawX.Jeślig−x∈V,tonamocyliniowości
AmamyAg−Ax=A(g−x)∈W.ZatemAprzeprowadzaotoczeniex+V
punktuxwzgóryustaloneotoczenieAx+WpunktuAx,czyliAjestciągłe
wx.
I
1.18.Twierdzenie.NiechAbędziefunkcjonałemliniowymnaprzestrzeni
liniowotopologicznejX.Załóżmy,żeAx/=0dlapewnegox∈X.Wówczas
