Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
1.35.Twierdzenie.NiechAbędziewypukłymzbiorempochłaniającymwprze-
strzeniliniowejX.Wówczas
(a)PA(x+g)≤PA(x)+PA(g).
(b)PA(tx)=tPA(x)dlat≥0.
(c)JeśliAjestzbalansowany,toPAjestpółnormą.
(d)JeśliB={x:PA(x)<1},aC={x:PA(x)≤1},toB⊂A⊂Coraz
PB=PA=PC.
Dowód.Niecht=PA(x)+s,s=PA(g)+sdlapewnegos>0.Wówczas
1
txi1
sgnależądoA,awięcichkombinacjawypukła
x+g
s+t
=
s+t
t
.x
t
+
s+t
s
.g
s
takżenależydoA.Oznaczato,żePA(x+g)≤s+t=PA(x)+PA(g)+2s,
coprzydowolnościsdowodzi(a).
Własność(b)jestoczywista,natomiast(c)wynikaz(a)i(b).
InkluzjeB⊂A⊂Czpunktu(d)dająnamnierównościPC≤PA≤
PB.AbyudowodnićrównośćfunkcjonałówMinkowskiego,ustalmyx∈X
iweźmysittakie,żePC(x)<s<t.Mamywtedy1
sx∈C,PA(1
sx)≤1
iPA(1
tx)≤s
t<1.Zatem1
tx∈B,acozatymidzie,PB(x)≤tdla
dowolnegot>PC(x).Innymisłowy,PB(x)≤PC(x).
I
1.36.Twierdzenie.
NiechBbędziewypukłą,zbalansowanąbaząotoczeń
wprzestrzeniliniowotopologicznejX.KażdemuV∈Bprzyporządkujmy
odpowiednifunkcjonałMinkowskiegoPV.Wówczas
(a)V={x∈X:PV(x)<1}dlakażdegoV∈B,
(b){PV:V∈B}jestrozdzielającąrodzinąciągłychpółnormnaX.
Dowód.Jeślix∈V,to1
tx∈Vdlapewnegot<1,boVjestzbiorem
otwartym.StądPV(x)<1.Zdrugiejstrony,jeślix/∈V,to1
tx∈Vimpli-
kuje,żet≥1(pamiętamy,żeVjestzbalansowany),awtedyPV(x)≥1.
Tokończydowód(a).
Ztwierdzenia1.35wiemy,żewszystkiePVsąpółnormami.Dalejzpun-
ktu(a)iztwierdzenia1.34wnioskujemy,żejeśliT>0ix−g∈TV,to
|PV(x)−PV(g)|≤PV(x−g)<T.
ZatemPVjestciągła.Jeślix/=0,toistniejeV∈Btaki,żex/∈V.Wtedy
PV(x)≥1,awięcrodzina{PV}jestrozdzielająca.
I
1.37.Twierdzenie.NiechPbędzierozdzielającąrodzinąpółnormnaprze-
strzeniliniowejX.Każdemup∈Pikażdejliczbienaturalnejnprzyporząd-
kujmyzbiór
V(pjn)={x:p(x)<
n}.
1
