Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
Zdrugiejstrony,niechE⊂Xspełniapowyższywarunek.NiechU
będzieotoczeniemzerawXtakim,że(1)zachodzi.IstniejąstałeMi<∞
takie,żepi<MinaE(1≤i≤m).Weźmyn>max{Mini:1≤i≤m}.
WówczasE⊂nU,acozatymidzie,Ejestograniczony.
I
1.38.Uwagi.
(a)Wtwierdzeniu1.37istotnebyłowzięcieskończonychprzecięćzbio-
rówV(pjn),gdyżsamezbioryV(pjn)nietworząbazyotoczeń(stanowią
onetakzwanąpodbazędlaskonstruowanejwtymtwierdzeniutopologii).
JakoprzykładtakiejsytuacjiweźmyX=R2,aPniechbędzierodziną
dwuelementową{p1jp2},gdziepi(x)=|xi|;x=(x1jx2)∈R
2.Zadanie8
rozwijatęuwagę.
(b)Twierdzenia1.36i1.37implikująnaturalnyproblem:JeśliBjest
wypukłą,zbalansowanąbaząotoczeńdlatopologiiTnalokalniewypukłej
przestrzeniX,tomożemytakjakwtwierdzeniu1.36skonstruowaćrozdzie-
lającąrodzinępółnormPnaX.DalejrodzinaPzadajetopologięT1naX
takjaktoopisaliśmywtwierdzeniu1.37.CzyT=T1?
Odpowiedźjesttwierdząca.Abytowykazać,zauważmy,żekażdapół-
normap∈PjestT-ciągła,azatemzbioryV(pjn)ztwierdzenia1.37sąele-
mentamiT.Innymisłowy,T1⊂T.Zdrugiejstrony,jeśliW∈Bip=PW,to
W={x:PW(x)<1}=V(pj1).
StądW∈T1dlawszystkichW∈B,cooznacza,żeT⊂T1.
(c)NiechP={pi:i=1j2j3j...}będzieprzeliczalnąrozdzielającą
rodzinąpółnormnaprzestrzeniliniowejX.Takjakwtwierdzenie1.37mo-
żemywprowadzićnaXtopologięT,którabędziemiałaprzeliczalnąbazę
otoczeń.Ztwierdzenia1.24wiemy,żeTjestmetryzowalna.Okazujesię,
żewniniejszejsytuacjimożemyzdefiniowaćtranslacyjnieniezmienniczą,
zgodnąmetrykęnaX,używającbezpośrednio{pi}ikładąc
d(xjg)=max
i
1+pi(x−g)
cipi(x−g)
j
(1)
gdzie{ci}jestpewnymustalonymciągiemliczbdodatnichzbiegającymdo
zera,gdyi→∞.
Nietrudnosięprzekonać,żedjestmetrykąnaX.Wykażemy,żekule
Br={x:d(xj0)<T}
(0<T<∞)
(2)
tworząwypukłą,zbalansowanąbazęotoczeńdlaT.
UstalmyT.Jeślici≤T(comamiejscetylkodlaskończeniewielui,bo
ci→0),to
1+pi<T.ZatemBrjestprzecięciemskończeniewieluzbiorów
cipi
postaci
{x:pi(x)<
ci−T}j
T
(3)
