Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
3iANALIZASYSTEMÓWZAPOMOCĄMETODOPERATOROWYCH
Współczynnikia
k
możnainterpretowaćjakozespolonąamplitudęsygnałuf(t)dla
częstotliwościk
ω
0
(k-tejharmonicznejprzypulsacjipodstawowej
ω
0
):
a
k
±
Re{
a
k
}
+
j
Im{
a
k
}
i
(3i3)
Łatwowięcokreślićamplitudęifazęposzczególnychwspółczynnikówrozkładu(3i1),
którewtensposóbtworząamplitudoweifazowewidmookresowegosygnałuf(t)i
Wprzypadku,gdyf(t)jestrzeczywistymsygnałemokresowym,reprezentacja(3i1)
redukujesiędopostaci:
+®
+®
f
(
t
)
±
Σ
b
k
cos(
k
ω
0
t
)
+
Σ
c
k
sin(
k
ω
0
t
)
,
k
±
0
k
±
1
(3i4)
przyczym:
b
0
±
T
1
-
T
T
∫
/
/
2
2
f
(
t
)
d,dlak>0:
t
b
k
±
T
1
-
T
T
∫
/
/
2
2
f
(
t
)
cos(
k
ω
0
t
)
d
t
,
c
k
±
T
1
-
T
T
∫
/
/
2
2
f
(
t
)
sin(
k
ω
0
t
)
d
t
i
Możnazauważyć,żewidmosygnałuokresowego(awięczbiórwspółczynników
a
k
)jestdyskretnewzględempulsacjiiOkresdyskretyzacjijestrównypulsacjipodsta-
wowej
ω
0
i
CałkoweprzekształcenieFouriera,któreodnosisięrównieżdoprzebiegównieo-
kresowych,możnauzyskaćprzezwydłużenieokresusygnałuwzależnościach(3i1)i
(3i2)wgranicydonieskończoności,cotakżeoznacza,żeszerokośćprzedziałupulsa-
cjipodstawowej
ω
0
zmierzadozera:T→
®
,
ω
0
→0iSumowaniew(3i1)zostajewów-
czaszastąpioneoperacjącałkowaniaiProwadzitodonastępującejparyprzekształceń
całkowych[46]:
F
(j)
ω
±
+®
-®
∫
ft
()e
-
j
ω
t
d
t
,
ft
()
±
2
1
π
+®
-®
∫
F
(j)ed
ω
j
ω
t
ω
,
(3i5)
(3i6)
znanychjakoproste(3i5)iodwrotne(3i6)przekształcenieFourieraiSąoneczęsto
zapisywanewnastępującejskróconejformie:
F
(j)
ω
±
F
{
ft
(),
}
ft
()
±
F
-
1
{
F
(j)i
ω
}
TransformataF(j
ω
)jestfunkcjąwzględempulsacji
ω
,astała‘j’jestniekiedyopusz-
czana,jednakwtymzapisiepodkreślonajestzespolonapostaćtransformatyFouriera,
aponadtozachowanyzostajejejzwiązekzomawianądalejtransformatąLaplace’ai
