Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Podzielnośćliczbcałkowitych
1.Niechx,y,zbędąliczbamiwymiernymitakimi,żex<z<y.Przedstawmy
wpostacinieskracalnej:x=a
b
,y=c
d
,z=e
f
,gdzieb,d,f>0.Wykaż,że:
a)jeślixiysąbliskie,tof≥b+d,
b)jeślixizorazziysąbliskie,toe=a+c
bc−ad
if=b+d
bc−ad
.
2.Niecha,b,c,dbędąliczbamicałkowitymi,przyczymb,d>0.
a)Uzasadnij,żejeślicniejestpodzielneprzezliczbępierwsząp,toistnieje
takiek∈{0,1,iii,p−1},żea+kcjestpodzielneprzezp.
b)Uzasadnij,żejeślibc−adjestpodzielneprzezliczbępierwsząp,toistnieje
takiek∈{0,1,iii,p−1},żea+kcib+kdsąpodzielneprzezp.
c)Uzasadnij,żejeśliliczbyx=a
b
iy=c
d
niesąbliskie,towprze-
dziale(xly)istniejeliczbawymierna,którawpostacinieskracalnejma
mianownikdodatni,nieprzekraczającymax{b,d}.
3.Rozważmyliczbęnaturalnąn>1.Zaznaczmynaosiliczbowejwszystkieliczby
wymierne,którewpostacinieskracalnejmająmianownikidodatnie,mniejsze
odn.Udowodnij,że:
a)dowolnedwiesąsiedniezaznaczoneliczbysąbliskie,
b)jeślia
b
,e
f
,c
d
sątrzemakolejnymizaznaczonymiliczbamiwpostacinie-
skracalnej,toe
f
=a+c
b+d
.
Podzielnośćliczbcałkowitych
Bukiet7
1.Niechx>1będzieliczbąnaturalną.Uzasadnij,że:
a)x2−1jestpodzielneprzezx+1,
b)xn−1jestpodzielneprzezx−1dladowolnegonaturalnegon.
62
2.Wykaż,żedladowolnegonaturalnegoa>1idowolnychnaturalnychk<l
liczbaa2
l
−1jestpodzielnaprzez:
a)a2
k+1
−1,
b)a2
k
+1.
3.Udowodnij,żedladowolnychliczbnaturalnycha,k,ltakich,żek<lia>1,
liczbaa2
l
+1dajeprzydzieleniuprzeza2
k
+1resztę2.
4.Danesąliczbynaturalnea,k,l.WyznaczNWD(a2
k
+1,a2
l
+1).
9
