Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wmatematycespotykamysięzwyrażeniami(np.równaniami,nierównościa-
mi)zawierającymisymbolezwanezmiennymi,któreoznaczająelementypew-
nychzbiorów.
Funkcją(formą)zdaniowązjednązmienną(oznaczonąnp.
Wx)nazy-
()
wamywyrażenie(zapis),wktórymwystępujezmiennaxiktórestajesięzdaniem
(prawdziwymalbofałszywym)popodstawieniuwmiejscexdowolnegoelemen-
tuzustalonegoniepustegozbioru
D
W
zwanegodziedziną(zakresemzmienno-
ści)tejformy.Stosujemywówczasnastępującyzapistejfunkcji:
Wx
()
,
xE
D.
W
ZbioremelementówspełniającychfunkcjęzdaniowąW(inaczej:rozwią-
zaniemfunkcjizdaniowejWlubzbioremmającymwłasnośćW)nazywamy
zbiórwszystkichitylkotakichelementówdziedzinytejfunkcji
D,którepo
W
podstawieniudoniejzamieniająfunkcjęzdaniowąwzdanieprawdziwe.Zbiór
tenoznaczamysymbolem:
{
x
E
D
W
:
Wx
()
}
.Takieokreśleniezbioruprzezokre-
ślonąwłaściwość(cechę)jestpowszechnieużywanewmatematyce.
Zfunkcjizdaniowej
Wx,xE
()
D
W
możemyutworzyćnastępującedwazda-
nia:
DlakażdegoxE
D
W
zachodzi(jestprawdziwe)
Wx,którezapisujemy
()
vE
x
D
W
,
Wx
()
.
Istnieje(przynajmniejjedno)xE
D
W
takie,żezachodzi(jestprawdziwe)
Wx,
()
którezapisujemy
3E
x
D
W
,
Wx
()
.
Mówimy,żetezdaniapowstałyprzezzwiązaniezmiennej(tzw.wolnej)xzapo-
mocąkwantyfikatoraogólnegov(dlakażdego)względnieszczegółowego3
(istnieje).
Zdanie
vE
x
D
W
,
Wx
()
jestprawdziwe,gdy
{
x
E
D
W
:
Wx
()
}
±
D.
W
Zdanie
3E
x
D
W
,
Wx
()
jestprawdziwe,gdy
{
x
E
D
W
:
Wx
()
}
#
0
.
Uwaga.Omówionepojęciamożnarozpatrywaćdlafunkcjizdaniowejdwóch
lubwięcejzmiennych.Używająckwantyfikatorówwodniesieniudonich,może-
mytworzyćfunkcjezdanioweizdania(przezzwiązanieznimizmiennychwystę-
pującychwfunkcjizdaniowej).
P(1.2)
a)Równanie
rx
()
:
x+±
3
10
niejestzdaniem,alejestfunkcjązdaniowąjednej
zmiennejxzwybranądziedziną,np.
D
r
±
R.Oznaczato,żepopodstawieniu
wmiejscexdowolnejliczbyrzeczywistejotrzymujemyzdanie(np.gdypod-
stawimyliczbę
-
1
,tootrzymamyzdanieprawdziwe
()
-
1
3
+±
10
imówimy
9
