Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Jednorównaniowyliniowymodelekonometryczny
27
Model(1.16)nazywanyjestwstatystycemodelem(równaniem)regresjiprostej11.
Jegozaletąjestłatwośćestymacjiiinterpretacji,należyjednakpamiętać,że„ograni-
czeniesiędobadaniafunkcjidwuzmiennychjestusprawiedliwionewzasadzietylko
wtakimprzypadku,wktórymwięźjednejparycechuwydatniasięzeszczególnąsiłą,
przesłaniającinnezależności”(Zarysekonometrii,1973,s.66).Wpraktyceznacznie
częściejstosowanesąmodelepozwalająceuwzględnićpoprawejstronierównaniawię-
cejczynnikówmającychwpływnazmiennąY.Mamywówczasdoczynieniazmodelem
(równaniem)regresjiwielorakiej
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+···+βkXki+si,
i=1,2,...,n,j=1,2,...,k.(1.17)
Przypomnijmyterminologięwprowadzonąwpodrozdziale1.1:zmiennaYnazywa-
najestzmiennąobjaśnianą(zależną),azmienneX1,X2,...,Xk—zmiennymiobja-
śniającymi(niezależnymi).Wrównaniuwystępująponadtoparametrystrukturalneβj
(j=0,1,2,...,k)orazskładniklosowys.Indeksi=1,2,...,nnumerujekolej-
neobserwacje;wmodelachszeregówczasowychzwyczajowostosujesięindekst(od
angielskiegosłowatime).
Dlauproszczenianotacjiwprowadźmynastępująceoznaczenia,umożliwiającema-
cierzowyzapisjednorównaniowegomodeluekonometrycznego:
y—n-elementowywektorobserwacjizmiennejobjaśnianej;
X—macierz(owymiarachn×(k+1))zaobserwowanychwartościzmiennych
objaśniających12;każdywiersztejmacierzyodpowiadajednejobserwacji,aw
kolumnachznajdująsięwartościposzczególnychzmiennych;
β—(k+1)-elementowywektorparametrówstrukturalnychmodelu;
ε—n-elementowywektorskładnikówlosowych.
Równanie(1.17)zapisanewpostacimacierzowejprzyjmujezatempostać
y=Xβ+ε.
(1.18)
Estymacjamodelu(mówiącbardziejprecyzyjnie,estymacjaparametrówmodelu)pole-
ganawyznaczeniuoszacowańparametrówstrukturalnychβj.Dlaczegojesteśmynimi
zainteresowani?UważnyCzytelnikznalazłjużodpowiedźwprzykładzie1.3.Otóżoce-
na(oszacowanie)ˆ
βjparametrustrukturalnegoβjmówinam,oileprzeciętnierośnie
(gdyˆ
βj>0)lubmaleje(gdyˆ
βj<0)wartośćzmiennejobjaśnianejY,gdy(przynie-
zmienionychwartościachinnychzmiennychobjaśniających,czyliceterisparibus)war-
tośćzmiennejXjrośnieojednąjednostkę.
Jakiejwielkościpróbąpowinniśmydysponować,abyoszacowaćparametrymodelu
ekonometrycznego,czyliilepowinnawynosićliczbaobserwacjin?Najkrótszaodpo-
wiedźbrzmi:„imwięcej,tymlepiej”.Wielewłasnościestymatoróworaztestówstaty-
stycznych,którympoddawanesąmodeleekonometryczne,macharakterasymptotyczny
11Modelregresjiprostejjestpodstawowymnarzędziemstatystykimatematycznej.Czytelnikznajdzie
obszerneomówieniejegowłasności,wrazzilustracjągraficzną,wpodręcznikachstatystyki(por.np.Gajek,
Kałuszka,2000).
12Zapis(k+1)odzwierciedlafakt,żewmodeluzwyrazemwolnymkoniecznejestuzupełnieniemacierzy
Xokolumnęjedynekwceluwyznaczeniaoszacowaniawyrazuwolnego;por.przykład1.8.
