Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Metodanajmniejszychkwadratów
33
Założenia(Z1)–(Z4)możnarównieżwyrazićwinnysposób:
(Z1)MacierzzmiennychobjaśniającychXmapełnyrządkolumnowy.
(Z2)MacierzwartościzmiennychobjaśniającychXjestmacierząoelementachusta-
lonychwpowtarzalnychpróbach.
(Z3)Wartośćoczekiwanaskładnikalosowegowynosi0.
(Z4)Macierzkowariancjiwektoraskładnikówlosowychjestskalarna,czylijestilo-
czynemstałejimacierzyjednostkowej,lub:składnikilosowezwiązanezposzczególny-
miobserwacjaminiesązesobąskorelowaneimająstałąwariancję.
Niekiedyprzyjmujesiędodatkowezałożenie(Z5)onormalnościrozkładuskładnika
losowego:
(Z5)si∼N(0,σ2)dlai=1,2,...,n.
Założenietoniejestwprawdziewarunkiemkoniecznym,abyestymatoryMNKmia-
ływłasnościwymienionewtwierdzeniu1.1,aleułatwiaweryfikacjęoszacowanego
modelu19.
Wartościzmiennejobjaśnianejotrzymanedlaocenˆ
βnazywanesąwartościamiteo-
retycznymizmiennejobjaśnianejioznaczaneprzezˆ
Yi:
Yi=ˆ
ˆ
β0+ˆ
β1X1i+ˆ
β2X2i+···+ˆ
βkXki,
i=1,2,...,n.
(1.19)
Resztądlai-tejobserwacjinazywasięróżnicęmiędzywartościąempirycznąateore-
tycznązmiennejobjaśnianej,czyli
ei=Yi−ˆ
Yi,
i=1,2,...,n.
(1.20)
Wartościteoretycznezmiennejobjaśnianejorazresztymożnazapisaćwpostaciwekto-
rów,odpowiednio,ˆ
yie.Otrzymujesięwtensposóbmacierzowyzapisrównania(1.19)
y=Xˆ
ˆ
β
orazrównania(1.20)
e=y−ˆ
y=y−Xˆ
β.
(1.21)
(1.22)
IdeaMNKpoleganawyznaczeniutakiegowektoraoszacowańˆ
βwektora
parametrówβ,przyktórymsumakwadratówodchyleńteoretycznychwartościzmiennej
objaśnianejodjejwartościempirycznych,eTe,osiągaminimum.Pomijamyszczegóły
wyprowadzeniaestymatorówMNK—zainteresowanyCzytelnikznajdziejewwie-
lupodręcznikachekonometrii20.EstymatorMNKnieznanegowektoraparametrówβ
równania(1.18)wyrażasięwzorem
β=(XTX)−1XTy,
ˆ
(1.23)
19Odwołujemysiędotegozałożeniawpodrozdziale2.5.Testhipotezyonormalnościrozkładuskładnika
losowegoomówionyjestwpodrozdziale3.4.
20Por.np.Maddala,2006,podrozdział3.4(regresjaprosta)ipodrozdział4.2(regresjawieloraka).Bar-
dziejszczegółoweomówieniezałożeńMNK,algebraicznychprzekształceńprowadzącychdoestymatora
MNKorazjegowłasnościprzedstawiaVerbeek(2004).
