Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Jednorównaniowyliniowymodelekonometryczny.Metodanajmniejszychkwadratów
Rys.1.3.GraficznaprezentacjaideiMNK
Źródło:opracowaniewłasne.
ajegomacierzkowariancjijestpostaci
D2(ˆ
β)=σ2(XTX)−1.
(1.24)
Wprzypadkuregresjiprostej(zjednązmiennąobjaśniającą,por.wzór(1.16))ideę
MNKłatwojestprzedstawićgraficznie.Narys.1.3zaznaczonozaobserwowanewar-
tościzmiennejobjaśnianejYizmiennejobjaśniającejXjakopunktyowspółrzędnych
(Xi,Yi).Pokazanoteżprostąˆ
Yorazresztyei,czyliodchyleniateoretycznychwartości
zmiennejobjaśnianej,leżącychnaprostej,odjejwartościempirycznych.Moglibyśmy
naszkicowaćwieletakichprostych,mniejlubbardziejodległychodpunktówempirycz-
nych.Prosta,dlaktórejsumapodniesionychdokwadratuodległościeijestnajmniejsza,
wyznaczaestymatoryMNK:punktjejprzecięciazosiąrzędnychstanowioszacowanie
wyrazuwolnegoβ0,ajejwspółczynnikkierunkowy—oszacowanieparametruβ1rów-
nania(1.16).Tesamerezultatyotrzymamywwynikuzastosowaniawzoru(1.23).W
przypadkumodelupostaci(1.17)równanieregresjiwyznaczahiperpłaszczyznęwprze-
strzeni(k+1)-wymiarowej.
Zauważmy,żesprawdzenieprawdziwościzałożeńtwierdzeniaGaussa–Markowa
przedoszacowaniemparametrówmodeluniejestmożliwe,ponieważskładniklosowy
modeluniejestbezpośrednioobserwowalny.Dopieropowyznaczeniunapodstawie
wzoru(1.22)resztoszacowanegomodelumożliwejestzweryfikowanieprawdziwości
założeńMNKdotyczącychskładnikalosowego.Tematemtymzajmujemysięwroz-
dziale3.
Wyznaczeniewektoraoszacowańparametrówmodelunapodstawiewzoru(1.23)
niesprawiatrudności.WystarczywtymceluzdefiniowaćmacierzXiwektory,których
elementamisązaobserwowanewpróbiewartości,odpowiednio,zmiennychobjaśniają-
cychizmiennejobjaśnianej.Występującawewzorze(1.24)wartośćwariancjiskładnika
losowegoσ2niejestjednakznana.
Możnapokazać,żenieobciążonymizgodnymestymatoremwariancjiσ2składni-
kalosowegomodelu(1.18)szacowanegoMNKjest
S2=
n−(k+1)
eTe
=
(y−Xˆ
n−(k+1)
β)T(y−Xˆ
β)
=
yTy−ˆ
n−(k+1)
βTXTy
.
(1.25)
Pierwiastekkwadratowyzestymatorawariancjiskładnikalosowego(1.25)nazywany
jestestymatorembłędustandardowegoregresji(składnikalosowego)iinformuje,oile
