Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Metodanajmniejszychkwadratów
35
Zdotychczasowychrozważańorazrysunku1.3wynikatakże:
o
0
+o
1
x
i
+Ę
i
=o
ˆ
0
+o
ˆ
1
x
i
+e
i
.
Resztye
i
niesąrównewartościomskładnikalosowegoĘ
i
,ponieważoceny
parametrówo
0
,o
1
różniąsięodich,,prawdziwychwartości’’(zpopulacji
generalnej).Resztye
i
możnanatomiasttraktowaćjakorealizacjeskładnikalo-
sowego.
Zagadnienieestymacjiparametrówo
0
io
1
jestrównoważneestymacjiwartości
oczekiwanejzmiennejobjaśnianejnapodstawiedanychempirycznych(próby
statystycznej).
Narysunku1.4przedstawionowukładziewspółrzędnychXYzbiórpunktów
(x
i
,y
i
).Każdyznichstanowirealizacjęodpowiedniejzmiennejlosowejy
i
(por.
rysunek1.2).Wodniesieniudozjawiskekonomicznychispołecznychnajczęściej
niemamymożliwościpowtórzeniadoświadczenia(eksperymentu),tzn.uzyska-
niaróżnychwartościzmiennejobjaśnianejdlatychsamychwartościzmiennej
objaśniającej(lubzmiennychobjaśniających)iotrzymaniaciągów:(x
i
,y
(1)
i
),
(x
i
,y
(2)
i
),(x
i
,y
(3)
i
),…,dlakażdegoi.Zwykleoczekujemy,żepunkt(x
i
,y
i
),którego
współrzędneodpowiadająwartościomzarejestrowanymprzezstatystykę,pochodzi
zpobliżaśredniejrozkładuzmiennejy
i
,awięcleżywpobliżuliniiregresjipopulacji
generalnej,czegoprawdopodobieństwojesttymwiększe,immniejszajestwariancja
zmiennejy
i
.Możewszakże—nawetjeśliprawdopodobieństwotakiegozdarzenia
jestniewielkie—pochodzićz,,ogona’’rozkładu.Wtymdrugimprzypadku
oszacowanaliniaregresjipróbybędzieodległaodliniiregresjipopulacjigene-
ralnej,azatemwartościestymatorówo
ˆ
0
io
ˆ
1
będąróżnićsięznacznieodparame-
trówo
0
io
1
.
Estymacjaparametrówmodelusprowadzasiędoznalezienialinii,którabędzie
najlepszazpunktuwidzeniazaproponowanegokryterium.Wprzypadkumetody
najmniejszychkwadratówkryteriumtymjestminimumsumykwadratówreszt
(odchyleń):
(
I
k
i=1
∑
I
e
2
i
\
I
)
→min.
(1.21)
Ideaklasycznejmetodynajmniejszychkwadratówzostałazilustrowanana
rysunku1.4.
Funkcja(1.21)jestdodatniookreślonąformąkwadratowąo
ˆ
0
io
ˆ
1
,zatemosiąga
minimumwpunkcie,gdziezerująsięwartościpierwszychpochodnychwzględem
obydwuparametrów:
(
I
\
(
I
\
∂
I
k
∂o
i=1
∑
ˆ
e
0
2
i
I
)
=
∂
I
k
i=1
∑
(y
i
-o
∂o
ˆ
ˆ
0
0
-o
ˆ
1
x
i
)
2
I
)
=-2
i=1
∑
I
(y
i
-o
ˆ
0
-o
ˆ
1
x
i
),
(1.22a)
