Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Metodanajmniejszychkwadratów
37
PodzieleniepierwszegozpowyższychrównańprzezIdajenatychmiastowy
rezultat:
y
–=o
ˆ
0
+o
ˆ
1
x
–,
(1.24)
dowodzący,żeliniaregresji,którejparametryszacujemy,przechodziprzezpunkt
(x
–,y
–).Wniosektenniejestprawdziwydlamodelubezwyrazuwolnego.Warunek
sumowalnościresztdozerajesttakżespełnionytylkowówczas,gdymodelzawiera
wyrazwolny.
Zrównania(1.24)mamy:
o
ˆ
0
=y
–-o
ˆ
1
x
–.
(1.25)
Zatemdowyznaczeniawartościo
ˆ
0
potrzebaiwystarczaznajomośćo
ˆ
1
.
I
Popodstawieniu
∑
x
i
=Ix
–oraz(1.25)dorównania(1.23b)iuporządkowaniu
i=1
otrzymujemy:
i=1
∑
I
x
i
y
i
-Ix
–y
–=o
ˆ
1
(
I
k
i=1
∑
I
x
2
i
-Ix
–
2
\
I
)
oraz:
(
I
\
(
I
\
(
I
\
I
o
ˆ
1
=
I
k
i=1
∑
x
i
y
i
-Ix
–y
–
I
)
/
I
k
i=1
∑
x
2
i
-Ix
–
2
I
)
=
I
k
i=1
∑
(x
i
-x
–)(y
i
-y
–)
I
)
/
i=1
∑
(x
i
-x
–)
2
.
(1.26)
Estymatoro
ˆ
1
zostałtuzdefiniowanyjakofunkcjawartościzmiennychiich
średnichwpróbie,możezatemzostaćobliczonyniezależnieodestymatorao
ˆ
0
,który
zgodniezewzorem(1.25)równyjest:
o
ˆ
0
=
(
I
k
i=1
∑
I
y
i
-o
ˆ
1
i=1
∑
I
x
i
\
I
)
/I.
(1.27)
Estymatory,wyrażonewzorami(1.26)i(1.27),sąnazywaneestymatorami
klasycznejmetodynajmniejszychkwadratów,KMNK-estymatorami(ang.ordinary
leastsquares,OLS)lubwskrócieMNK-estymatorami(ang.leastsquares,LS).
Większośćponiższychrozważańbędziedotyczyćmetodynajmniejszychkwa-
dratów,któranależydonajpowszechniejstosowanych.Istniejąjednakżedziesiątki
innychmetodestymacjiparametrówstrukturalnychmodeliekonometrycznych,choć
wartododać,iżwieleznichsprowadzasiędoMNKprzyspełnieniupewnych
dodatkowychzałożeń.
Rozważmykonsekwencjeprzyjęciakryteriumodmiennegoodminimumsumy
kwadratówreszt(por.wzór(1.21)).Niechbędzienimminimumsumywartości
(
I
\
absolutnychreszt,
I
k
i=1
∑
le
i
l
I
)
→min.Narysunku(1.5a)przedstawionodziałanie
obydwukryteriów;naosirzędnychodłożonowartośćfunkcjistraty,naodciętych
zaśodchylenia(reszty).Wprzypadkuzaproponowanejreguły,,kara’’zaduże
