Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.dzieciństwo,szkołaśredniaiMit
części),opartynaobliczaniupochodnychicałekfunkcji.Tymsamymstwo-
rzylipotężnenarzędziematematyczne,codoprowadziłodogwałtownego
rozwojumatematyki.
AbymóczastosowaćpraworuchuNewtona,zazwyczajużywasięwspółrzęd-
nychprostopadłychx,yizwprzestrzenitrójwymiarowej.Jednakczęstonie
sąoneodpowiedniepodwzględemfzycznymwodniesieniudokonkretnego
problemuiprowadządodośćskomplikowanychrównań.Naprzykład,jeśli
chodziotrajektorięplanetywokółSłońca,znaczniełatwiejbyłobyużyćjej
odległościodSłońca,atakżezmiennejkątowejwskazującejjejpozycjęna
orbicie,którerównieżsąuważanezauogólnionewspółrzędne.Trzebawło-
żyćdużopracyumysłowej,abyprawaruchuNewtonadlaplanetywyrazićza
pomocąodległościikąta-towłaśniekochałFeynman.
StolatpoNewtoniebyłwstanietegodokonaćfrancuskimatematykJoseph-
-LouisLagrange,któryprzeformułowałpraworuchuNewtonatak,abypo-
wstałaogólnaproceduratworzeniarównańruchuwdowolnychwspółrzęd-
nych(tzw.metodaLagrange’a).Naprzykład,gdyplanetaporuszasięwokół
Słońca,metodatadostarczabezpośredniorównaniaruchuwpożądanejpo-
staci,tj.wyrażoneprzezodległośćplanetyodSłońcaijejzmiennykąt.Jeśli
chcemyzrozumiećmetodęLagrange’aprzynajmniejwzarysie-zasadniczo
działaonawnastępującysposób:
1.Należywprowadzićwspółrzędnezależneodczasuizwiązaneznimipręd-
kości,któresądostosowanedoproblemu(np.zmienneodległościikąta,
jakrównieżtempoichzmianwczasie).
2.NastępniewyrazićenergiękinetycznąTienergiępotencjalnąVprzezte
współrzędneiprędkości,tworzącróżnicęL=T-V.TaróżnicaLnazywana
jestrównieżfunkcjąLagrange’a-spotkamyjąponownieprzyokreślaniu
działania.
3.Równaniaruchudlakażdejzewspółrzędnychotrzymujemywnastępujący
sposób:
»WyznaczymypochodnąfunkcjiLagrange’aLindywidualniepokażdej
współrzędnejprędkości,anastępniepoczasiet.
»NastępniepodstawiamywynikrównypochodnejLwzględemskojarzo-
nejwspółrzędnej.
Jeślichcemyiczujemysię(nadal)sprawniwmatematycezliceum,może-
myużyćprostegoprzykładu.Wypróbujmywahadłosprężynowe.Najpierw
postępujemywkonwencjonalnysposób:takiewahadłomamasęmprzymo-
cowanądosprężynyostałejsprężystościDijestwprawionewdrganiapio-
nowe(rysunek1.6).SprężynaciągniemasęzsiłąF=–D⋅xzpowrotemwkie-
runkupozycjispoczynkowej,gdziextoodchylenieodpozycjispoczynkowej
(tj.x=0wpozycjispoczynkowej).Gdyzapiszmysiłęzgodniezprawemruchu
Newtona,otrzymamyrównanieruchu:
m⋅a=–D⋅x
35
