Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
48
GRAWITACJA
strzeni.Zacznijmyodrozważeniaprostegoprzypadkucząstkiomasie
mporuszającejsięruchemjednowymiarowymwpotencjaleV(x).
Równanieruchucząstkimożnawyrazić,korzystajączlagrangianu:
L(˙
x7x)=
1
2
m˙
x21V(x)7
(3.33)
gdziekropkaoznaczapochodnąpoczasie.PraworuchuNewtona
m¨
x=1dV/dxmożnaterazzapisaćjakorównanieLagrange’a:
1
dt(
d
∂˙
∂L
x)+
∂L
∂x
=0.
(3.34)
Rozważmymożliwetrajektoriecząstki,odpunktuxAwchwilitA
dopunktuxBwchwilitB,przedstawionenarys.3.7.Dlakażdejtrajek-
toriimożemyobliczyćpewnąliczbęrzeczywistą,zwanądziałaniem:
Rysunek3070Możnapo-
S[x(t)]=∫
tA
tB
dtL(˙
x(t)7x(t)).
(3.35)
prowadzićbardzowiele
różnychtrajektoriiodpo-
Działaniejestprzykłademfunkcjonału–odwzorowaniafunkcji(wtym
łożeniaxAwchwilitA
przypadkuwszystkichtrajektoriix(t))naliczbyrzeczywiste.
dopołożeniaxBwchwili
tB,alecząstkaporuszapo
tejjednej,dlaktórejjest
łożeniemxBwchwilitB,równanieLagrange’a(3.34)jestspełnione
ZewszystkichkrzywychłączącychpołożeniexAwchwilitAzpo-
spełnionerównanieruchu
tylkodlatych,dlaktórychdziałaniemaekstremum.Tostwierdze-
Newtona.Dlatejtrajektorii
niestanowisformułowaniemechanikinewtonowskiejwpostacizasady
działaniemaekstremum.
wariacyjnej.
Zasadawariacyjnawmechanicenewtonowskiej
Dowolnacząstkaporuszasięodjednegopunktuwprzestrzeni
wpewnejchwilidoinnegopunktuwchwilipóźniejszejwzdłuż
takiejdrogi,dlaktórejdziałaniemaekstremum
Inaczejmówiąc,cząstkazachowującasięzgodniezzasadamidynami-
kiNewtonaporuszasiępodrodze,dlaktórejdziałaniemaekstremum.
Terazwyjaśnimy,cooznacza,żedziałaniemaekstremumiudowodni-
mysformułowanązasadę.
Ekstremafunkcjijednejzmiennejf(x)topunkty,gdzieznika
pierwszapochodna–lokalneminima,maksimaipunktyprzegięcia.
Wekstremumniewielkazmianaδxargumentufunkcjixniepowoduje
–zdokładnościądowyrazówpierwszegorządu–zmianywartości
funkcji.Jesttakdlatego,żezdokładnościądopierwszegorzęduwδx,
δf=
df
dx
δx7
awekstremumdf/dx=0.
(3.36)
