Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
50
GRAWITACJA
PRZYKŁAD3030Szczególnawariacja0Jeślidziałaniemaekstre-
mum,azatemjegowariacjaznikadlawszystkichwariacjitrajektorii,
dlaktórejjestspełnionerównanieruchu,towariacjadziałaniamusi
znikaćrównieżdladowolnejszczególnejwariacjidrogi.Rozważmy
ruchcząstkiswobodnej(V(x)=0),poruszającejsięodpunktuxA
wchwilitAdoxBwtB.ZrównaniaruchuNewtonawynika,żecząstka
taporuszasięzestałąprędkością(xB1xA)/T,gdzieT=tB1tA.
Rysunek3080Narysunkuprzedstawionajestrodzinatrajektoriicząstekłączących
początkowepołożeniecząstkixAwchwilitAzpołożeniemkońcowymxBwchwili
tB.Każdaoznaczonacienkąliniątrajektoriaskładasięzdwóchprostychodcinków,
którełącząsięwpunkcieXwpołowieczasumiędzytAitB.Trajektoria,któraeks-
tremalizujedziałanietopogrubionaprostałączącaobapunkty.Tatrajektoriaspełnia
prawoNewtona.
Rysunek3.8przedstawiadrogęcząstkipoliniiprostejprzechodzą-
cejprzeztepunkty.PoupływieT/2,cząstkaznajdujesięwpunkcie
(xB+xA)/2.Porównamydziałaniedlatejdrogi,dlaktórejjestspeł-
nionerównanieruchuNewtona,zdziałaniemcząstki,któraporusza
sięzestałąprędkościądopewnegoinnegopunktuXprzezczasT/2,
anastępniezinnąstałąprędkością,takąbydotrzećdoxBpocałkowi-
tymczasieT.DziałanieS(X)dlatychdrógjestfunkcjąX,którąłatwo
znaleźćz(3.35),ponieważnakażdymetapiecząstkaporuszasięze
stałąprędkością,(X1xA)/(T/2)napierwszymi(xB1X)/(T/2)na
drugim.GdycząstkaporuszasięzestałąprędkościąVprzezczast,to
działaniewynosimV2t/2.Całkowitedziałaniedlaobuetapówotrzy-
mujemy,sumującwynikiobliczonedlakażdegoetapuoddzielnie:
S(X)=m[(xB1X)
2+(X1xA)2]/T.
(3.41)
DziałaniemaekstremumgdydS/dX=0.Tenwarunekjestspełniony
tylkowtedy,gdy:
X=(xB+xA)/27
(3.42)
czylidladrogizgodnejzrównaniemruchuNewtona.
