Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wśródtensorówodkształcenianaszczególnąuwagęzasługujetensor
E
()
2
{
E
(cowiąże
siętakżepośredniozpostaciąrównańrównowagiwkonfiguracjipoczątkowejidefinicjąten-
soranaprężeniaPioli-KirchhoffaIIrodzajuorazlinearyzacjąanizotropowychzwiązkówhi-
persprężystości).TensorEjesttzw.tensorowąmiarąodkształceniaLagrange’a(nazywaną
takżemiarąodkształceniaGrena-St.Venanta):
E
1
1
2
(
C
-
I
)
1
1
2
(
H
+
H
T
+
H
T
H
)
,
(3.3)
gdzieprzypominamy,że
C
1
F
T
F
.Bezpośrednioz(3.3)wynika,żeaproksymacjąliniową
tensora
E
jesttensor
ε
1
1
2
(
HH
+
T
)
,
ε
1H
ij
b
i
®
b
j
,
H1
ij
1
2
(
u
ij
+
u
ji
,
)
,
(3.4)
ijeżelinierozróżniasiękonfiguracjiciała(
x
{
X
)tootrzymujemytensorodkształceń
ε
sto-
sowanywteoriimałychprzemieszczeń.Podobnespostrzeżeniedotyczywszystkichtensorów
odkształcenia(3.1)i(3.2).
GeometryczneuzasadnieniewprowadzeniatensoraEwynikazponiższejzależności:
d.d
xx
-
d.d
XX
1
d.
X
ª
¬
(
CI
-
)
d
X
º
¼
1
XCI
(
-
)
.d
X
1
d.
2d.
XEX
.d
.
Zdefinicji(3.4)wynika,żedlamałychprzemieszczeńiodkształceńmamy
J1
det
F
#+
1tr
E
#+
1tr
ε
,
(3.5)
(3.6)
zczegomiędzyinnymiotrzymujemywięzynieściśliwości:
tr
ε
1
0
,wteoriimałychprze-
mieszczeń.WięzynieściśliwościwMOCmająpostać:
J1
1
.
Wprzypadkumałychodkształceńiobrotówotrzymamynastępującąaproksymacjętenso-
ra
R
:
R
#
I
+
1
2
(
H
T
-
H
)
.
(3.7)
Wprowadzasięrównieżtzw.uogólnionemiaryodkształceniawopisieprzestrzennym
e
()
n
1
1
n
(
I
-
V
-
n
)
1
¦
k
K
1
1
1
n
(
1
-
O
-
k
n
)
p
k
1
k
¦
K
1
1
e
()
k
n
p
k
,
(3.8)
którespełniajązależność:
e
(
-
n
)
1
RE
(
-
n
)
R
T
.Uogólnienie(3.8)jestwpostacianalogicznejdo
(3.2).
e
(
nm
)
1
nm
-
1
(
V
-
m
-
V
-
n
)
1
¦
k
K
1
1
nm
-
1
(
O
k
-
m
-
O
k
-
n
)
p
k
1
¦
k
K
1
1
e
(
k
nm
,
)
p
k
,
,
(3.9)
Logarytmiczną,tensorowąmiaręodkształceniawopisieprzestrzennym
ln
V
otrzymuje-
mydla
n
o
0
.Zeszczególnymiprzypadkami(3.8)związanesąnastępującenazwytensorów
odkształcenia:Swaingera(
n
1
1
,
I
-V
-
1
),Almansi’ego(
n
1
2
,
2
1
(
I
-V
-
2
)
),por.[9].
15
