Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Szczegółowadyskusja,dotyczącapochodnychmaterialnychtensorówdeformacjiiodkształ-
cenia,przedstawionajestm.in.wpracy[9],por.także[20,48,53,57,58,78].
Zdefinicjitensorów
L
i
D
otrzymamynastępująceinterpretacje:
d1
x
Lx
d
,
d
s
1
(
(
tr
LILn
)
-
T
)
ds
,
d
v
1
(
tr
L
)
d
v
1
(
tr
D
)
dv
1
(
div
v
)
dv
1
J
dV
.(4.9)
Deformacjaciałajestdeformacjąizochorycznąjeżeli
J
1
1,
J
1
0,
,
tr
L
1
tr
D
1
div
v
1
0
.
(4.10)
Wliteraturzerozpatrujesiętakżeinnewięzykinematyczneniż(4.10),np.opostaci
tr
E
1
0
(częstomylnienazywanymiwięzaminieściśliwości,zewzględunaprzybliżenie
wzagadnieniachmałychodkształceń
J-#
1
tr
E
1
0
)albonieodkształcalnościwokreślonym
kierunku[2,5,8,26,28,61].
5.Tensorynaprężeniairównaniarównowagi
WrównaniachruchuwopisieEulera(wkonfiguracjiaktualnejciała
B
t
)występujeten-
sornaprężeniaCauchy’ego
σ
(tzw.naprężeniarzeczywiste),zaśwkonfiguracjiodniesie-
nia
B
R
jestniesymetrycznatensorowa„miara”naprężeniaPioli-KirchhoffaS(tzw.napręże-
nianominalne,tensornaprężeniaPioli-KirchhoffaIrodzaju).Przypominamy,żejakokonfi-
guracjęodniesieniazwykleprzyjmujesiękonfiguracjępoczątkową(
B
R
1
B
0
)dla
t
1
0
.
ZpodstawowegotwierdzeniaMOCwynikatożsamośćmiędzyprostymnasunięciem
wymienionychtensorównaprężeniazwektoramidefiniującymizorientowaneinfinitezymalne
elementypowierzchnimaterialnych
n
ds
wkonfiguracjiaktualneji
N
dS
wkonfiguracjiod-
niesienia,opostaci[8]:
σn
ds
1
SN
dS
.
Ponieważ
n
ds
1
J
()
F
-
1
T
N
dS
,to
S
1
J
σF
()
-
1
T
1
J
σ
Cof
F
.
(5.1)
(5.2)
Stosującodpowiedniotwierdzeniacałkoweizasadęzachowaniamasyotrzymamyzza-
sadyzachowaniapęduimomentupędunastępującerównania:
div
σ
+
U
~
f
1
U
a
,
σ
1
σ
T
.
(5.3)
Wukładziekartezjańskimoreperze
^
oe
,
^`
i
`
w
B
t
mamy
div
σ
1V
ijji
,
e
,czyli
V
ijj
,
+U1U
f
i
i
i
i
a
i
i
,
V1V
ij
ji
.
PodobnieotrzymamyrównanieruchuwopisieLagrange’a:
DIV
S
+
U
0
~
f
1
U
0
a
,
SF1
T
FS
T
.
(5.4)
(5.5)
18
