Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§5.Wyprowadzenierównańmakroskopowych15
Abyrównania(5.6)i(5.7)zapisaćwpostacizwyczajnychrównańhydrodynamiki,
trzebajeszczewyrazićΠ
IBorazqprzezwielkościmakroskopowe.Wspominaliśmyjuż,
żemakroskopowyopisgazuzakładamałewartościgradientówopisującychgowielko-
ścimakroskopowych.Wtymprzypadkuwpierwszymprzybliżeniumożemyprzyjąć,że
wkażdymelemencieobjętościgazupowstajestanrównowagicieplnej,podczasgdygaz
jakocałośćwstanierównowaginiejest.Innymisłowy,zakładamy,żefunkcjarozkładuf
jestlokalnierównowagowa,toznaczywkażdymelemencieobjętościjestfunkcjąf
0
zwartościamigęstości,temperaturyiprędkościmakroskopowej,któregazmawtym
elemencie.Tenrodzajprzybliżeniaoznacza,żezaniedbujemywszelkieprocesydyssypa-
cjizachodzącewgazie–lepkośćiprzewodnictwocieplne.Istotnejestto,żewramach
tegoprzybliżeniarównania(5.6)i(5.7)sprowadzająsiędorównańhudrodynamikido-
skonałegopłynu,oczymsięprzekonamy.
Równowagowyrozkładwelemencieobjętościgazuporuszającegosięjakocałość
zprędkościąVróżnisięodrozkładurównowagowegojedynieoprzekształcenieGalile-
usza;przechodzącdoporuszającegosięwrazzgazemukładuodniesieniaK!otrzymu-
jemyzwykłyrozkładBoltzmanna.Prędkośćcząsteczekv!gazujestzwiązanazprędkością
wwyjściowymukładzieodniesieniaKrównaniemv=v!+V.Napiszemy
Π
IB=mN(v
Iv
B>=mN((V
I+v!
I)(V
B+v!
B)>=mN(V
IV
B+(v!
Iv!
B)>;
wyrazyV
Iv!
BiV
Bv!
Iznikająprzyuśrednianiuzewzględunakierunekv!,ponieważwukła-
dzieK!wszystkiekierunkiprędkościcząsteczkisąrównieprawdopodobne.Ztegosa-
megopowodu
(v!
Iv!
B>=1
3(v!2>δ
IB;
(5.10)
aśrednikwadratprędkościruchówcieplnychjestrówny(v!2>=3T/m,gdzieTjest
temperaturągazu.Nakoniec,zauważywszy,żeNTjestciśnieniemgazup,otrzymujemy
Π
IB=pV
IV
B+δ
IBP3
(5.11)
azatemznanewyrażenieokreślającetensorstrumieniapęduwpłyniedoskonałym;rów-
nanie(5.6)wrazztymtensoremjestrównoważnehydrodynamicznemurównaniuEulera
(patrzVI,§7).
Abyprzekształcićcałkę(5.9),zauważymy,żeenergiacząsteczki8wukładzieod-
niesieniaKjestzwiązanazenergią8!wukładzieodniesieniaK!równaniem
8=8!+mVv!+1
2mV2.
Podstawiającdotegowzoruv=v!+Vorazq=N8v,otrzymujemy
q=NV[
mV2
2
+
m
3
v!2+8!]=V(
pV2
2
+p+N8).