Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.RównaniaMaxwellaipodstawowepojęciarachunkuwektorowego
5
uprościć,pomijającznaksumy.Jeżelibowiemzapiszesięiloczyn,wktórymjakiśwskaź-
nikbędziesiępowtarzać(tzn.będzieoznaczonytymsamymsymbolem),tobędzieto
oznaczać,żezapisanosumęprzebiegającąpowszystkichdozwolonychwartościachtego
wskaźnika.Innymisłowy,zapisanapowyżejsumamożebyćprzedstawiona,zzastosowa-
niemkonwencjisumacyjnej,wformie:Aaxxc
=1
ii
.
Stosująckonwencjęsumacyjną,możnazapisaćiloczynwektorowydwóchwektorów
wpostaci:
(
ab
×
)
i
=
e
ijk
ab
jk
,
(01.5)
gdzieioznaczajednązeskładowychiloczynuwektorowego,a
e
ijk-tosymbolLeviego-
-Civity(odnazwiska:TullioLevi-Civita),nazywanyteżtensoremcałkowicieantysyme-
trycznymlubepsilonemztrzemaindeksami.SymbolLeviego-Civityprzyjmujenastępu-
jącewartości:
e
ijk
=−
[
I
{
1
1
dla
dla
xyz
xzy
zxy
yzx
(parzystepermutacjexyz)
zyx
yxz
(nieparzystepermutacjexyz)
I
[
0
dla
i
=
j
lub
j
=
k
lub
k
=
i
(powtarzającesięindeksy)
(01.6)
Łatwomożnasprawdzić,żetakizapisjestrównoważnyzapisowizwykorzystaniemwzo-
rów(01.4).
RotacjawektoraAtowektorzdefiniowanywnastępującysposób:
rotA
=∇×
A
=
r
I
I
I
I
I
I
I
L
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
x
z
1
I
I
I
I
I
I
I
J
×
r
I
I
I
L
A
A
A
x
y
z
1
I
I
I
J
=
r
I
I
I
I
I
I
I
L
−
(
I
k
∂
∂
∂
∂
x
∂
y
∂
x
A
A
A
z
y
z
−
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
z
y
∂
z
A
A
A
y
x
x
]
I
J
1
I
I
I
I
I
I
I
J
=
e
i
j
jk
∂
∂
x
j
A
k
⋅e,
i
(01.7)
gdzieeisąwersoramiwkierunkuosix,yiz.
Wektortenmożebyćprzedstawionysymboliczniejakoiloczynwektorowywektoranabla
iwektoraA.PolewektoroweA(x),któregorotacjaznika(jestrówna0),nazywamypolem
bezwirowym.
Gradientpolaφ(x)jesttowektorzdefiniowanywnastępującysposób:
grad
ϕ
=∇=
ϕ
r
I
I
I
I
I
I
I
L
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
y
x
z
1
I
I
I
I
I
I
I
J
.
(01.8)
Dlastatycznego(tj.niezależącegoodczasu)rozkładuładunkówiprądówwpróżnirów-
naniaMaxwellaprzyjmująpostać:
