Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział3
Relacje
3.1
Podstawowedefinicje
Relacjęn-argumentową,gdzien∈N+,definiujemyjakodowolnypodzbióriloczynukartezjań-
skiegozbiorówX1XX2...XXn.PrzykładamirelacjiwprzestrzeniRnsąnaprzykładzbiory:
R11∅j
R21{(0j0j...j0)j(1j0j...j0)}
R31{(x1jx2j...jxn):x11x21...1xn}
R41{(x1jx2j...jxn):xi∈Qjź∈{1j2j...jn}}
Definicja3.1NiechXiYbędązbiorami.Relacjądwuargumentową(binarną)nazywamydo-
wolnypodzbiórRiloczynukartezjańskiegoXXY.Mówimywtedy,żeelementyx∈Xjg∈Xsą
wrelacjiR,cozapisujemy(xjg)∈R-używamytakżenotacjixRgzamiast(xjg)∈R.
Wniniejszejksiążceskoncentrujemysięnarelacjachdwuargumentowychorazpewnychszcze-
gólnychrodzajachrelacji,któreodgrywająbardzoważnąrolęwmatematyce.Relacjesątakże
dobrymiużytecznymnarzędziemdoopisywaniaiobrazowaniasytuacjiwróżnychdziedzinach
nauki.PrzyjmijmyzazbiórXludzizamieszkującychnasząplanetę.Pomiędzyobiektamitego
zbiorumożnarozpatrywaćpewnerelacjeitraktowaćjejakoparyuporządkowanezezbioruXXX,
np.powiemy,żedwieosobysąwrelacjiR,gdymajątensamwzrostlub,innyprzykład,pozo-
stajązesobąwrelacji,gdysątejsamejpłci.Jeszczeinnymprzykłademjestrelacja,którapolega
natym,żedwieosobysąwrelacji,gdyoddałygłosnategosamegokandydatawwyborach.
JakozbiórXmożnarozważaćnaprzykładdowolnyzbiórliczbowy.Jeśliustalimy,żeX1N+,
tomożemyrozważyćrelacjęRpomiędzyliczbamimjnztegozbioruokreślonąwtensposób,
żemRnwtedyitylkowtedy,gdym|n.Wtymsamymzbiorzemożnaokreślićrelacjęmiędzy
elementamimjn,przyjmując,żemRnwtedyitylkowtedy,gdymjnsąliczbamipierwszymi
takimi,żem−n12(sątotzw.liczbybliźniacze).Przykłademparnależącychdotejrelacjisą
np.(3j5),(5j7).
Definicja3.2DziedzinąrelacjiR⊂XXYnazywamyzbiórDR1{x∈X:∃y∈Y(xRg)}.
Definicja3.3PrzeciwdziedzinąrelacjiR⊂XXYnazywamyzbiór:D
11
R
1{g∈Y:∃x∈X(xRg)}.
JeżeliXiYsąniepustymi,skończonymiidyskretnymizbiorami,torelacjęwygodniejest
przedstawiaćwpostacitablicy.Naprzykład,niechX1{ajb}iY1{cjdje}orazR1
{(ajc)j(bjd)j(bje)}.RelacjęRmożnaprzedstawićnastępująco:
39