Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
aE[a′]∩[afl],tzn.klasyniesąrozłączne.Dlaelementua(wykorzystując
przechodniośćisymetrycznośćrelacji)możemyzapisać:
(a′~a∧a~afl)ż(a′~afl),
coprzeczyzałożeniu,żea′niejestwrelacjizafl,stądwynika,żeklasytesą
rozłączne.♦
ZdefiniowaniewzbiorzeArelacjirównoważnościanastępnieutworzenieklas
abstrakcjiprowadziczęstodokonstrukcjinowegozbioru,któregopodzbiorem
jestzbiórA.
Przykład6.Wykazać,żerelacja~wzbiorzeN
2określonawzorem:
[(k,l)~(m,n)]⇔kn
lm
jestrelacjąrównoważnościiwyznaczyćklasyabstrakcjiwzględemtejrelacji.
Jestoczywiste,żeprawdziwesąnastępującezdania:
v(k,l)EN2:(k,l)~(k,l)⇔v(k,l)EN2:kl
lk,
v(k,l),(m,n)EN2:[(k,l)~(m,n)]ż[(m,n)~(k,l)]⇔
⇔v(k,l),(m,n)EN2:kn
lmżnk
ml,
czylidanarelacjajestzwrotnaisymetryczna.
Abywykazać,żerelacjajestprzechodnia,tzn.
v(k,l),(m,n),(o,p)EN2:[(k,l)~(m,n)∧(m,n)~(o,p)]ż[(k,l)~(o,p)]⇔
⇔v(k,l),(m,n),(o,p)EN2:(kn
lm∧mp
no)ż(kp
lo),
kn
wystarczyzauważyć,żezukładurównań
lmno⇔kp
lm,
no,
wzbiorzeliczbnatu-
mp
ralnych,wynikająrówności:knmp
lo,atooznacza,że
(k,l)~(o,p).Stądwynika,żedanarelacjajestprzechodnia.
WyznaczmyklasyabstrakcjidlakilkukolejnychelementówzbioruN
2:
{(k,l)EN2:(k,l)~(1,1)}
{(k,l)EN2:k
l}
{(1,1),(2,2),(3,3),
...},
[(1,1)]
{(k,l)EN2:(k,l)~(1,2)}
{(k,l)EN2:2k
l}
{(1,2),(2,4),(3,6),
...},
[(1,2)]
{(k,l)EN2:(k,l)~(1,3)}
{(k,l)EN2:3k
l}
{(1,3),(2,6),(3,9),
...},
...
[(1,3)]
17
2
