Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład8.Sprawdzić,czyrelacjaR⊂ℜ2jestfunkcją,jeżeli
xRy⇔x2
y
1.
Sprawdzamy,czyprawdziwejestzdanie:
vxEℜ∃y,zEℜ:(x2=y
1∧x2
z
1)ż(y
z).
Ponieważx
zdanietojestprawdziwe.
2
y
1ix
2
z
1,więcy
1
z
1,czyliy
z,zatem
MamyponadtovxEℜ∃y
x
2
1:xRy(⇔x2
x
2
x
2
1).
1
1),czylidana
relacjajestfunkcją(jesttofunkcjaokreślonawzoremy
Przeciwdziedzinąfunkcjif:A→Bnazywamyzbiórf(A),zdefiniowany
następująco:
f(A)
{bEB:∃aEA:b
f(a)}.
Funkcjęf:A→B,którejprzeciwdziedzinajestidentycznazezbioremB
(tzn.B
f(A)),nazywamyfunkcją„na”(zbiórB)lubsuriekcją.
Funkcjęf:A→B,któraspełniawaruneklewostronnejjednoznaczności:
va,a′EA:(a≠a′)ż[f(a)≠f(a′)]
nazywamyfunkcjąróżnowartościowąlubiniekcją.
Funkcjęfjednocześniesuriektywnąiiniektywnąnazywamyfunkcjąwza-
jemniejednoznacznąlubbijekcją(zbioruAnazbiórB)ioznaczamy
f:A↔B.
Zbiórwszystkichodwzorowańpostacif:A→Bbędziemyoznaczać
B
A(fEBA).
Przykład9.Zbadaćrodzajfunkcjif:N
2→N,gdzief(n,k)
min(n,k).
Funkcjatajest„na”zbiórN,bo
vmEN∃(m,m
1)EN2:f(m,m
1)
m,
tzn.każdaliczbanaturalnamjestobrazempary(m,m
1).Niejesttofunk-
cjaróżnowartościowa,bonp.f(1,2)
f(1,3),zaś(1,2)≠(1,3).Zatemfjest
funkcją„na”(suriekcją).
Przykład10.Zbadać,czyfunkcjaf:ℜ→ℜ,gdzief(x)
x
3jestbijekcją.
3
y
,takieże
Funkcjatajest„na”,ponieważdlakażdegoyEℜistniejex
y
x
3
.Jesttotakżefunkcjaróżnowartościowa,bojeślix≠x′,tox3≠(x′)3,
zatemfjestbijekcją.
19
2
