Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
15.Równoważność:p⇔qbędzieoznaczać
równoważnośćzdańpiq(czytaj„pwtedy
itylkowtedy,gdyq”),czylizdaniezłożo-
ne,któregowartośćlogicznapodanajest
wtabeli
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
Przykład1.Niechzdaniepbędzie:2
2
5,zaśzdanieq:3
3
6,wtedy
zdaniap′,p∨q,pżqsąprawdziwe,zaśzdaniap∧qip⇔qsąfałszywe.
Zadaniazłożone,któresąprawdziwebezwzględunato,jakąwartośćlogi-
cznąmajązdaniaprosteskładowenazywamyprawamirachunkuzdańlub
tautologiami.
Najważniejszymitautologiamizewzględunaichzastosowaniewmatematycesą:
1.(p∨q)′⇔p′∧q′
IprawodeMorgana,
2.(p∧q)′⇔p′∨q′
IIprawodeMorgana,
3.[(pżq)∧(qżr)]ż(pżr)
prawosylogizmu,
4.(pżq)⇔(q′żp′)
prawokontrapozycji,
5.(pżq)′⇔p∧q′
prawonegacjiimplikacji,
6.p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)
rozdzielnośćkoniunkcjiwzględemalter-
natywy,
7.p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
rozdzielnośćalternatywywzględemko-
niunkcji.
Wmatematycemamydoczynienianietylkozpojedynczymizdaniami,lecz
równieżzezbioramizdań,którewlogicenazywamyformamizdaniowymi,
awmatematycewarunkami.
Formęzdaniowązależnąodjednejzmiennejx,przyjmującejwartościzpew-
negozbioruXoznaczamyp(x).
Uogólnieniemnaformyzdaniowefunktoraalternatywyjesttzw.kwantyfika-
torszczegółowyosymbolu:∃(albo
).Zapispostaci:∃x:p(x)oznaczazda-
nie:„istniejetakawartośćzmiennejx,żezdaniep(x)jestprawdziwe”albo
„istniejetakiex,dlaktóregozachodzip(x)”.
JeśliX
{x
1,x
...,x
n},tozdanie:„∃x:p(x)”jestrównoważnezdaniu:
2,
„p(x
1)∨p(x
2)∨...∨p(x
n)”.
Uogólnieniemnaformyzdaniowefunktorakoniunkcjijesttzw.kwantyfika-
torogólnyosymboluv(albo
).Zapispostacivx:p(x)oznaczazdanie:
„dlakażdejwartościzmiennejxzdaniep(x)jestprawdziwe”albo„dlakażde-
goxzachodzip(x)”.
JeżeliX
{x
1,x
...,x
n},tozdanie:„vx:p(x)”jestrównoważnezdaniu:
2,
„p(x
1)∧p(x
2)∧...∧p(x
n)”.
8
