Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
I.FUNKCJE
Przykład2.3.Dlafunkcjif(x):2x91orazg(x):92x;2możemyutworzyć
dwiefunkcjezłożone:g(f(x)):92f(x);2:92(2x91);2:94x;4
orazf(g(x)):2g(x)91:2(92x;2)91:94x;3.Otrzymaliśmydwie
różnefunkcje,bonp.g(f(1)):94;4:0,fg(1):94;3:91.
Ostatniprzykładpokazuje,żeskładaniefunkcjiniejestprzemienne;wynikzłożenia
zależyodporządkuskładaniafunkcji.
Niekażdedwiefunkcjemożnazłożyć.Abyistniałafunkcjazłożonag᭺fmusi
byćspełnionynastępującywarunek:zbiórwartościfunkcjifjestzawartywdziedzinie
funkcjig.
Przykład2.4.Funkcjah(x):(2x;1jestzłożeniemfunkcjif(x):2x;1
ig(x):(x.Niemożemyjednakwziąćfunkcjifokreślonejdlawszystkichliczb
rzeczywistych,gdyżwtedywśródwartościfunkcjiotrzymamytakżewartości
ujemne,dlaktórychnieistniejepierwiastekkwadratowy.Dlategoograniczamy
dziedzinęfunkcjifdoprzedziału⎛
⎝9
1
2
,;-⎞
⎠,bowtedyzbioremwartościfunkcji
fjestprzedział10,
;-).
Przykład2.5.Funkcjaf(x):sinxjestokreślonadlawszystkichargumentów
rzeczywistychxiprzyjmujewartościzarównododatnie,jakiujemne,funkcja
g(x):logxjestokreślonadlaxdodatnich.Dlategonieistniejefunkcjazłożonagf
(chybażeograniczymyargumentyfunkcjiftak,byprzyjmowaławyłącznie
wartościdodatnie;takjestwkażdymprzedziale(2kπ,(2k;1)π).
Natomiastfunkcjafgistniejedlawszystkichx90,bowówczasliczbalogxjest
określonaimożnaobliczyćsinustejliczby.
Rozważmyterazfunkcjęf,którejdziedzinąjestzbiórX,azbioremwartościzbiór
Yiktórajestróżnowartościowa.Założeniategwarantują,żekażdemuelementowi
x+Xodpowiadadokładniejedenelementy+Yiponadtokażdyy+Yjestobrazem
dokładniejednegox+X.Innymisłowymamiejscewzajemniejednoznaczna
odpowiedniośćmiędzyelementamizbioruXiY.Wynikastąd,żekażdemu
elementowiy+Yodpowiadadokładniejedenelementx+X.Możemywięcokreślić
funkcjęg:Y;X,któramatęwłasność,żejeśliy:f(x),tox:g(y).Element
xprzechodziprzyfunkcjifnatakiy,któryfunkcjagprzekształcanatensamx.Wobec
tegofunkcjazłożonag᭺fjestidentycznościąI
xprzekształcanatensamx.
X
nazbiorzeX,czylikażdyelement
