Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.Zbiory,ciągiifunkcje
Aotodowód,wktórympokazujemy,żekażdyztychzbiorów
jestpodzbioremdrugiego.Weźmynajpierwx∈AΠ(BUC).
WtedynapewnoxjestelementemzbioruA.Elementxnależy
równieżdoBUC.Zatemalbox∈Biwtymprzypadkux∈AΠB,
albox∈Ciwtedyx∈AΠC.Wobuprzypadkachmamy
x∈(AΠB)U(AΠC).Widać,żeAΠ(BUC)⊆(AΠB)U(AΠC).
Terazweźmyy∈(AΠB)U(AΠC).Wtedyalboy∈AΠB,
alboy∈AΠC;tedwaprzypadkirozpatrzymyoddzielnie.Jeśli
y∈AΠB,toy∈Aiy∈B,awięcy∈BUC,skądwynika,że
y∈AΠ(BUC).Podobnie,jeśliy∈AΠC,toy∈Aiy∈C,
zatemy∈BUCiznówy∈AΠ(BUC).Ponieważwobu
przypadkachmieliśmyy∈AΠ(BUC),więcpokazaliśmy,że
(AΠB)U(AΠC)⊆AΠ(BUC).Udowodniliśmyjużinkluzję
odwrotną,więctedwazbiorysąrówne.
Rysunek1.4
DowodyzapomocądiagramówVennawydająsięznacznie
prostszeniżdowody,wktórychdowodzimyinkluzjianalizując
należenieelementówdozbiorów.Dowodyrysunkowebudząnie-
pokójwieluludzi;jednakdiagramVennadlazbiorówA,B,C
składasięzośmiuobszarów(rys.1.4),cowyczerpujewszystkie
logicznemożliwości.ZatemdowodyzapomocądiagramówVenna
sącałkowiciepoprawne.Znaczniepoważniejszymzarzutemwobec
diagramówVennajestto,żeukrywająoneprzebiegrozumowa-
nia;nieukazująonecałejlogikizwiązanejzzakreskowywaniem
diagramów.Gdybyśmyzapisalicałerozumowanieprowadzącedo
rysunku1.3,dowódbyłbyrówniedługi,jakopartywyłączniena
logicedowódanalizującynależenieelementówdoposzczególnych
zbiorów,podanywprzykładzie4.Innympowodemunikaniadia-
gramówVennajestto,żetrudnojenarysować,gdymamydo
czynieniazwięcejniżtrzemazbiorami.Jednakżeprawiekażdy,
ktozajmujesięmatematyką,korzystazrysunków,wtymrów-
nieżzdiagramówVenna,bylepiejrozumiećkonkretnesytuacje
matematyczne.
