Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
50
1.Zbiory,ciągiifunkcje
Funkcjafbdanawzoremfb(x)=bxdlax∈Rmafunkcjęod-
wrotnąf-1
b
odziedzinie(0,∞),którąnazywamyfunkcjąloga-
rytmiczną.Piszemyf-1
b
(y)=logby;zdefinicjifunkcjiodwrot-
nejmamy
logbb
x=xdlakażdegox∈R
oraz
blogby=y
dlakażdego
y∈(0,∞).
Wszczególności,exilog
exsąfunkcjamiwzajemnieodwrotnymi.
Funkcjęlogexnazywamylogarytmemnaturalnymiczęsto
oznaczamylnx.Funkcje10xilog
1oxsąwzajemnieodwrotne,po-
dobnie2xilog
2x.Wartościfunkcjilog1ox=logxilogex=lnx
możnaobliczaćnawielukalkulatorach;takiekalkulatorypozwa-
lająteżobliczaćwartościfunkcjiodwrotnych10xiex.Abyobli-
czyćlog2xnakalkulatorze,korzystamyzjednegoznastępujących
wzorów
log2x=
log1ox
log1o2
≈3,321928·logx
lub
log2x=
logex
loge2
=
lnx
ln2
≈1,442695·lnx.
Następnetwierdzeniepokażenam,jakiefunkcjesąodwra-
calne.
Twierdzenie
Funkcjaf:S−
→Tjestodwracalnawtedyitylkowtedy,gdy
fjestróżnowartościowaiprzekształcazbiórSnazbiórT.
Dowód.Przypuśćmy,żefmafunkcjęodwrotnąf-1.Jeśli
x1,x2∈Sorazf(x1)=f(x2),to
x1=f
-1(f(x1))=f-1(f(x2))=x2.
Zatemfunkcjafjestróżnowartościowa.Ponadto,jeśliy∈T,to
f-1(y)należydoSif(f-1(y))=y;zatemy∈Im(f).Stąd
T=Im(f),awięcfprzekształcazbiórSnazbiórT.
Naodwrót,jeślifprzekształcaSnaT,todlakażdegoyze
zbioruTistniejejakiśx∈Staki,żef(x)=y.Jeślifjesttakże
różnowartościowa,toistniejedokładniejedentakixifunkcjęf-1
możemyokreślićwzorem:
(∗)
f-1(y)=tenjedynyx∈Staki,żef(x)=y.
Zdefinicjitejmamybezpośredniof(f-1(y))=y,af-1(f(x))
jestjedynymelementemzbioruS,któryfunkcjafprzekształca
