Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§5.FunkcjaLagrange'aukładupunktówmaterialnych
21
Rozwiązanie.a)Współrzędnepunktumsąrówne:
x=acosγt+lsinϕ,
y=–asinγt+lcosϕ.
FunkcjaLagrange’a
L=1
2ml2˙
ϕ2+mlaγ2sin(ϕ–γt)+mglcosϕ;
opuściliśmytutajwyrazyzależącetylkoodczasuorazzupełnąpochodnączasowąwyrażenia
malγcos(ϕ–γt).
b)Współrzędnepunktum:
x=acosγt+lsinϕ,
y=lcosϕ.
FunkcjaLagrange’a(poodrzuceniuzupełnychpochodnych)
L=1
2ml2˙
ϕ2+mlaγ2cosγtsinϕ+mglcosϕ.
c)Wpodobnysposób
L=1
2ml2˙
ϕ2+mlaγ2cosγtcosϕ+mglcosϕ.
4.Układprzedstawionynarysunku4.Punktm2poruszasiępoosipionowej,wokółktórej
całyukładobracasięzprędkościąkątowąΩ.
Rozwiązanie.Wprowadzamykąt9międzyodcinkiemaapionemorazkątϕopisującyobrót
układuwokółosi;˙
ϕ=Ω.Dlakażdegozpunktówm1elementdługościwektoraprzesunięcia
danyjestwyarażeniem
dl2
1=a2d92+a2sin29dϕ2.
Dlapunktum2odległośćodpunktuzawieszeniaAwynosi2acos9idlatego
dl2=–2asin9d9.
FunkcjaLagrange’ajestrówna
L=m1a
2(˙
92+Ω2sin29)+2m
2a2sin29˙
92+2ga(m
1+m2)cos9.
