Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12I.Równaniaruchu
Jeżeliwystąpiwięcejstopniswobody,towzasadzienajmniejszegodziałanianależy
przeprowadzićniezależnewariacjesróżnychfunkcjiqi(t).Otrzymasięwtedysrównań
postaci
dt
d
∂˙
∂L
qi
–
∂qi
∂L
=0
(i=1,2,...,s).
(2.6)
Równaniatesąszukanymirównaniamiróżniczkowymi;wmechanicenazywasięje
równaniamiLagrange’a∗.JeżeliznanajestfunkcjaLagrange’adanegoukładume-
chanicznego,torównania(2.6)sązwiązkamimiędzyprzyspieszeniami,prędkościami
iwspółrzędnymi,czylisąrównaniamiruchuukładu.
Zmatematycznegopunktuwidzeniarównania(2.6)sąukłademsrównańróżnicz-
kowychdrugiegorzędudlasniewiadomychfunkcjiqi(t).Ogólnerozwiązanietakiego
układuzależyod2sdowolnychstałych.Dookreśleniatychstałych,awięcdocałko-
witegookreśleniaruchuukładumechanicznego,koniecznajestznajomośćwarunków
początkowychcharakteryzującychstanukładuwpewnejustalonejchwili,możetobyć
naprzykładznajomośćpoczątkowychwartościwszystkichwspółrzędnychiprędkości.
NiechukładmechanicznyskładasięzdwóchczęściAiB,zktórychkażda,wprzy-
padkuodosobnieniajejodpozostałej,byłabyscharakteryzowanaodpowiednioprzez
funkcjęLagrange’aLAlubLB.Wtedywgranicy,odsuwającodsiebieobieczęścitak
daleko,żebymożnabyłozaniedbaćichwzajemneoddziaływanie,funkcjaLagrange’a
całegoukładubędziedążyćdo
limL=LA+LB.
(2.7)
PowyższawłasnośćaddytywnościfunkcjiLagrange’astwierdza,żerównaniaruchukaż-
dejczęściukładunieoddziałującejzpozostałyminiemogązawieraćwielkościodnoszą-
cychsiędoczęścipozostałych.
PomnożeniefunkcjiLagrange’aukładumechanicznegoprzezdowolnąstałąniema
oczywiściewpływunarównaniaruchu.Wydawałobysięwięc,żestądmożewynikać
własnośćnieokreślonościpolegającanatym,żefunkcjeLagrange’aróżnychodosobnio-
nychukładówmechanicznychmożnabymnożyćprzezdowolneróżnestałe.Własność
addytywnościusuwatęnieokreśloność,pozostajewięctylkodowolnośćpomnożenia
funkcjiLagrange’awszystkichczęściukładuprzezjednakowąstałą;sprowadzasiętodo
naturalnejdowolnościwyborujednostekwymiarówwielkościfizycznych.Dosprawytej
powrócimyjeszczew§4.
NależyjeszczezwrócićuwagęnanastępującąogólnąwłasnośćfunkcjiLagrange’a.
WeźmypoduwagędwiefunkcjeL,(q,˙
q,t)iL(q,˙
q,t)różniącesięozupełnąpochodną
czasowądowolnejfunkcjiwspółrzędnychiczasuf(q,t):
L,(q,˙
q,t)=L(q,˙
q,t)+
dt
d
f(q,t).
(2.8)
Całkidziałania(2.1)odpowiadającetymfunkcjomLagrange’aspełniajązwiązek
t2
t2
t2
S,=
∫
L,(q,˙
q,t)dt=
∫
L(q,˙
q,t)dt+
∫
df
dt
dt=S+f(q(2),t2)–f(q(1),t1),
t1
t1
t1
∗Wrachunkuwariacyjnym,zajmującymsięzagadnieniemznajdowaniaekstremówcałekpostaci
(2.1),równaniatenazywająsięrównaniamiEulera.
