Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Estymacjaindeksuekstremalnego…
11
Celemniniejszegoopracowaniajestpróbawskazanianajbardziejodpo-
wiedniego(zpunktuwidzeniakryteriówokreślonychwdalszejczęściopraco-
wania)zakresurzędówwartościrekordowychbranychdouśrednieńprzysza-
cowaniuindeksuekstremalnegodlaklasyrozkładówPareto.Czynionetojestna
podstawiebadańsymulacyjnych.Wybórtejklasyrozkładówzostałpodykto-
wanyfaktemdużejelastycznościrozkładówPareto,którasprawia,żedoskonale
nadająsięonedomodelowaniawielutypówdanychekonomicznych–wtym
wszczególnościniektórychszeregówfinansowych.
1.Pojęciateoretyczne
Teoriawartościekstremalnychzajmujeznaczącemiejscewśródwieluna-
rzędzisłużącychdorozpoznawaniarodzajuasymptotykiogonówrozkładów.
Dziękitemunadajesięonadowykrywaniagrubychogonówdlarozkładówem-
pirycznych.PodstawytejteoriimająpoczątkiwpierwszejpołowieXXw.,kiedy
wlatach1927-1943kolejnoFréchet[16],FisheriTippett[14],vonMises[28]
orazGnedenko[20]podalicharakterystykęwszystkichmożliwychnie-
zdegenerowanychrozkładówgranicznych
*wodpowiednisposóbnormowanych
ciągówmaksimów,aponadtoudałoimsięczęściowoscharakteryzowaćobszary
przyciąganiatychrozkładów.Pełnącharakterystykęobszarówprzyciąganiaroz-
kładówtypuekstremalnegopodałdopierow1970r.deHaan(por.[6]).
Podstawowympojęciemrozważanymwramachteoriiwartościekstremal-
nychjestindeksekstremalny,będącyparametremrozkładówtypuekstremal-
nego.Badaniuwłasnościteoretycznychindeksuekstremalnegoijegostatystycz-
nejestymacjipoświęconajestdośćobszernaliteratura(por.np.[13;21]iprace
tamcytowane),natomiastdefinicjaindeksujestnastępująca:
Jeślidlaciąguniezależnychzmiennychlosowych
X=
X
1
,
X
2
,
X...
3
,
ojednakowymrozkładzie,zadanymprzezwspólnądystrybuantęF,istnieją
ciągirzeczywistychstałychnormujących
a
n
>
0
,
b,dla
n
nIN
∈
+orazistnieje
pewnaniezdegenerowanadystrybuantaGotejwłasności,żedladowolnego
argumentu
xIRzachodzi:
∈
n
limIP
→
+∞
(
max{
X
1
,
...
a
,
n
X
n
}
-
b
n
≤
x
)
=
G
(
x
)
(1)
towówczaszdokładnościądoliniowejzmianyargumentudystrybuantaG
przyjmujepostać:
G
(
x
)
=
G
γ
(
x
)
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
exp(
exp(
-
-
(
exp(
1
+
γ
-
x
x
)
)
-
)
1
/
,
γ
)
,
1
-
+
∞
γ
<
x
x
>
<
0
,
+∞
,
gdy
gdy
γ
γ
≠
=
0
0
(2)
*Takierozkładygranicznetradycyjnienazywasięrozkładamitypuekstremalnego(extremevaluedistri-
butions)lubteż,zgodniezcoraztopowszechniejszymzwyczajem,rozkładamimax-stabilnymi(max-stable
distributions).
