Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Estymacjaindeksuekstremalnego…
13
gdzie
L
(x
)
jestfunkcjąwolnozmieniającąsięwnieskończoności(slowly
varying),czylidlakażdego
t
>
0
iloraz
L
(
tx
)
/
L
(
x
)
→1przy
x
→
+∞
.
Okazujesię,żewykładnik
θ
jestwprostzależnyodwartościindeksueks-
tremalnego,
γ
ponieważ
θ
=
γ
-
1
.
Wśródrozkładówotejwłasnościznajdująsięm.in.rozkładyPareto,Cau-
chy’egoit-Studenta.
Max-stabilnerozkładygranicznenazywanesąwtymprzypadkurozkładami
typuFrécheta(Fréchettypedistributions).
–Gdyindeksekstremalnyprzyjmujewartość0
(=
γ
0
)
mówisięolekkim
ogonierozkładu(lighttail),cooznacza,żefunkcjaprzetrwania
1
-
F
(
x
),
przy
x
→
+∞
dążydozerawykładniczo(por.[8]),toznaczy:
∃
θ
>
0
∃
T
0>
0
∀
x≥
T
0
1
-
F
(
x
)
≤
exp(
-
θ
x
)
(4)
Doklasyrozkładówotejwłasnościnależąnp.rozkładynormalny,logaryt-
miczno-normalny,wykładniczyigamma.
Max-stabilnerozkładygranicznenazywanesąwtymprzypadkurozkładami
typuGumbela(Gumbeltypedistributions).
–Wprzypadkuujemnegoindeksuekstremalnego(
γ
<
0
)mówisię,żerozkład
makrótkiogon(shorttail),toznaczy:
∃
T
0>
0
∀
x≥
T
0
1
-
F
(
x
)
=0
(5)
Przykładamidystrybuantotejwłasnościsądystrybuantyrozkładówjedno-
stajnego,beta,odwrotnegoBurra.
Max-stabilnerozkładygranicznenazywanesąwtymprzypadkurozkładami
typuWeilbulla(Weilbulltypedistributions)
*.
Wszystkiedotychczasnadmienionerozważaniaiwynikidotyczącegra-
nicznychrozkładówciągówmaksimówprzenosząsięautomatyczniena
granicznerozkładyciągówminimów
**dziękitemu,że
min{
X
1
,
...
,
X
n
}
=
=
-
max{
-
X
1
,
...
,
-
X
n
}.
WobectegodlaustalonejzmiennejlosowejX–
-wświetlewskazanegodualizmupomiędzyteoriamiwartościekstremalnych
dotyczącychodpowiedniomaksimóworazminimów–indeks„maksymalny”
należyinterpretowaćjakoindeksekstremalnyprawegoogonarozkładutej
zmiennej,zaśindeks„minimalny”–jakoindeksekstremalnylewegoogona
rozkładu.
Osobnymzagadnieniemjestestymacjaindeksuekstremalnego.Wanalizach
danychempirycznychznajdujezastosowaniewieleestymatorówopisanych
wliteraturze.Wniniejszymopracowaniurozważanyjestestymatork-to-re-
*Wartowtymmiejscuodnotować,żetakienazewnictwomożebyćdośćmylące,ponieważrozkładWeilbulla
nienależydoklasyrozkładówtypuWeilbullawpodanymsensie,leczdoklasyrozkładówtypuGumbela.
**Tegotypurozkładygraniczne,przezanalogiędomax-stabilnych,nazywasięrozkładamimin-stabilnymi
(min-stabledistributions).
