Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.11.Iloczynkartezjańskigrup
gg
i
(1)
j
(2)
()(
g
i
(1)
-
1
g
(2)
j
)
-
1
±
(
gg
i
i
-
1
)(
(1)
gg
j
j
-
1
)
(2)
±
ee
(1)(2)
JeżeliG
(1)iG(2)sąpodgrupamipewnejgrupyG,toichiloczynkarte-
zjańskimożnawyznaczyćtylkowtedy,kiedysąonekomutantami.
Wtymprzypadkupara
gg
i
(1)
(2)
j
jestpoprostuwynikiemmnożenia
gg
i
(1)
(2)
j
±E.Zgrupniebędącychkomutantaminiemożnawyznaczyć
gG
iloczynukartezjańskiego.Rozpatrzmyiloczyn:
(
eg
(1)
(2)
j
)(
ge
i
(1)(2)
)
±
egg
(1)
(1)
i
(2)(2)
j
e
±
gg
i
(1)
(2)
j
^
g
(2)
j
g
i
(1)
któryjestsłusznytylkodlagrupbędącychkomutantami.Liczbaklas
grupy
G
(1)
®
G
(2)
jestrównailoczynowiliczbklasgrupG
(1)iG(2).
Rozpatrzymyzbiórtychelementówgrupy
G
(1)
®
G
(2)
,zktórychje-
dennależydopewnejklasygrupyG
(1),adrugidopewnejklasygrupy
G
(2).Dowiedziemy,żeteelementytworząklasęw
G
(1)
®
G
(2)
.Niech
element
g
i
(1)
|
g
(2)
j
należydoopisanegozbioru,aelement
g
r
(1)
|
g
s
(2)
bę-
dziedowolnymelementem
G
(1)
®
G
(2)
.Wtedyelement
(
g
r
(1)
|
g
(2)
s
)(
-
1
g
i
(1)
|
g
(2)
j
)(
g
r
(1)
|
g
s
(2)
)
±
±
(
()(
g
r
(1)
-
1
g
s
(2)
)
-
1
)
(
g
i
(1)
|
g
(2)
j
)(
g
r
(1)
|
g
s
(2)
)
±
±
()
g
r
(1)
-
1
|
g
i
(1)
|
g
(1)
r
|
(
g
(2)
s
)
-
1
|
g
(2)
j
|
g
s
(2)
jestelementem,należącymdotegozbioru.Toznaczy,żewydzielony
zbiórelementówjestklasąw
G
(1)
®
G
(2)
.
21
