Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wewcześniejszejczęścitegorozdziałustaraliśmysiępodkreślić,żezbioryiopisy
zbiorówdwiemaróżnymirzeczami.Zwracaliśmyrównieżuwagęnato,żeważna
jestznajomośćdomenyzbioru.Teszczegółynadalważne.Zbiory{1+1,5-2,2+1},
{2,3,3}i{3,2},traktowanejakozbioryliczbcałkowitych,wszystkieopisujątensam
zbiórzłożonyzdwóchliczbcałkowitych;2i3,któregokardynalnośćjestrówna2.
Jednakżetesamezbiory
,traktowanejakozbiorywyrażeńarytmetycznychnietakie
same;pierwszyznichzawieratrzyelementy(ponieważzawieratrzyróżnewyrażenia),
podczasgdydrugiitrzecizawierająpodwaelementy
.
DooznaczaniakardynalnościzbioruSmatematycystosująskróconąnotację|S|.Taka
samanotacjastosowanajestdooznaczaniawartościabsolutnejijejznaczeniewynika
zkontekstu:jeśliSjestliczbą,to|S|jestwartościąbezwzględnąS,ajeśliSjestzbiorem,
to|S|jestkardynalnościąS.
Formalnaikonstruktywnadefinicjakardynalności
Większośćdefinicjikardynalnościposługujesięideąodpowiedniościtypujeden-do-
jednego.JeślielementyzbioruSmożnaobjąćjakąśformąodpowiedniościtypujeden-
do-jednegolubprzyporządkowaćimliczbycałkowiteod1dok,mówimy
,żezbiórSjest
skończonyimakardynalnośćk.Twierdzenietowynikaczęściowozdośćoczywistego
faktu(któregoudowodnieniejestjednaknietrywialne),żeelementomzbiorumożna
przyporządkowaćliczbycałkowiteod1dokdlanajwyżejjednejwartościk.Formalna
definicjakardynalnościpodanawkategoriachodpowiedniościprowadziwpraktyce
dozbiorównieskończonych.
Wprzypadkuzbiorówskończonychkonstruktywnądefinicjękardynalnościmożna
przedstawićwkategoriachfunkcjicharakteryzującej.Jakpamiętamy
,każdyzbiórS
scharakteryzowanyjestzapomocąfunkcji1
S(funkcjicharakteryzującejlubfunkcji
członkowstwawzbiorzeS),gdzie1
S(x)jestzdefiniowaneirówne0lub1dlawszystkich
xzdomenyzbioruS.
Definicja:
NiechSbędziezbioremskończonymzdomenąU.Kardynalność
zbioruSjestdefiniowanajakosumawartościfunkcji1
S(x).Inaczejmówiąc,
|S|:=
xU1
S(x)
Zpodanejdefinicjiwynikawieleużytecznychkonsekwencjidotyczącychkardynalności,
atakżeopisywanewcześniejcechyfunkcjicharakterystycznej.
Prostywniosekdotyczącykardynalności
Kardynalnościązbiorupustegojestzero:||=0.Jakpamiętamy
jestrównezeru,awięc||jestsumązerirównieżjestrównezeru.
,1
(x)zawsze
Teoriazbiorów
67