Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
•jeżelikjestliczbąparzystą,tov
k
=
v
k
dlawszystkich
v
!
H
7
(1
.1)
•jeżelikjestliczbąnieparzystą,tov
k
=
v
k
dlawszystkich
v
!
H
7
(1.2)
•av
^
$
h
k
=
av
k
$
k
dlawszystkich
v
!
Ha
!
Rk
,
!
N
i
,
(1.3)
Abyskrócićzapisdziałańmiędzypotęgamiwektorów(odowolnychnatural-
nychwykładnikach),wpracachJ.Tatara[2002b,2008a,2008b]wprowadzony
zostałoperator%onastępującejpostaci:
Z
]
vw
k
l
gdy
kl
–
liczbyparzyste
,
v
k
%
w
l
=
]
[
]
]
\
vw
wv
vw
k
k
l
,
$
$
k
l
l
gdy
gdy
gdy
k
k
kl
,
–
–
liczbaparzysta
–
liczbanieparzysta
liczbynieparzyste
l
–
,
l
liczbanieparzysta
–
liczbaparzysta
7
,
gdzie,
vw
!
H
oraz
kl
,
!
N
i
Zauważmy,żedziękinierównościSchwarza(por.[Musielak1989,s.67–68]dla
operatora%zachodzi(użytecznawdalszejczęścipracy)własność:
^
v
k
%
w
l
h
2
#
vw
2
k
2
l
,
(1.4)
dlawszystkich7
vw
!
H
oraz,
kl
!
N
i
Ponadtozapomocąoperatora%sformułowanotwierdzenieprezentujące
kolejnewłasnościoperatorapotęgowaniawprzestrzeniHilberta,będąceuogól-
nieniamiodpowiednichwłasnościdziałaniapotęgowanialiczbrzeczywistych.
Twierdzenie1.1.Dlawszystkich,
vw
!
Hkl
,
,
!
N
:
v
k
%
v
l
=
v
kl
+
oraz
^h
v
kl
=
v
kl
$
(1.5)
(1.6)
Dowódzamieszczonowzałączniku.
WdalszejczęścipracyrozważonoprzestrzeńHilberta
^
RR
n
+
,
$
h
7wktórej
,
,
określonoklasyczny(euklidesowy)iloczynskalarnyopostaci:
vw
=
i
/
=
n
1
vw
i
i
,
,
gdzie
v
=
vv
1
2
,iii,
v
n
),
w
=
(
ww
1
2
,iii,
w
n
)
!
R
n
i
Przytakzdefiniowanymilo-
(,
,
czynieskalarnymwkolejnychrozdziałachprzedstawionezostałycharakterystyki
rozkładuwielowymiarowegoopartenadefinicjipotęgiwektora,atakżeichodpo-
wiednieestymatory.
