Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
ROZDZIAŁ1.PRZEGLĄDHISTORYCZNY
formalizacjaMatematykipodkoniecXIXinapoczątkuXXwieku.Trzebawspomnieć
GottlobFregeijegorachunekpredykatówjakosprowadzenieMatematykidologiki.
PoprzezA.N.WhiteheadaorazB.RussellaiichdziełaPrincipiaMathematica,które
miałybyćlogicznymipodstawamidlacałejMatematyki.DalejbyłprogramDawida
Hilberta.ByłrównieżnurtkonstruktywistycznyreprezentowanygłównieprzezL.E.
J.BrouweraiA.Kołmogorowa.Pomiędzywielkimimatematykamiowychczasówpo-
wstałowtedywielekontrowersjidotyczącychpodstawMatematyki.Tegłównenurty
sąprzedstawioneniżej.
HilbertmiałwielkiwpływnarozwójMatematyki.Dzisiajjegopoglądy(Program
Hilberta),dotyczącepodstawMatematyki,sprowadzonezostałyjedyniedoformali-
zacjiMatematykiidowoduniesprzeczności,którywświetlePierwszegoiDrugiego
TwierdzeniaG"
odlaniemożnaprzeprowadzićwewnątrzformalnegosystemu,asam
systemformalny(niesprzecznyizawierającyArytmetykęPeano)jestniepełny,tzn.
sązdaniaprawdziwe,którychwtymsystemieniemożnadowieść.
WedługHilberta,formalnyaksjomatycznyopis,dobrzerozwiniętejdziedzinywie-
dzy(nietylkoMatematyki),jestpotrzebnyżebyzrozumiećdokładnieistotętejdzie-
dziny.Uważałontakże,żeistniejepewientypoczywistegorozumowania,uniwersalny
wnaukowychbadaniach,opartynaskończonychoperacjach,patrz([53],pp.162-
163).Cowięcej,uważałon,żejestjednopojęcieprawdywMatematyce(patrz[52],
p.489,494),awięczasadniczojednoUniwersumobiektówmatematycznych.Wkon-
kluzji([52]p.489,494),problempodstawMatematykimożnasprowadzićdoredukcji
(ugruntowania)matematycznegorozumowaniadofinistycznegorozumowania.
Zperspektywyczasu,pozycjaHilbertaijegoProgramusprowadzonazostałatyl-
kodoformalizmu.Jesttowypaczeniemjegozasadniczejidei,zaśpogląd,żeTwier-
dzenieG"
odla,oniezupełnościArytmetykiPeano(PA)orazoniemożnościdowodu
niesprzecznościPAużywającPA,obalatenProgramczyniącgoniewykonalnym,jest
dalekoniesłuszny,patrzmiedzyinnymiGeorgKreisel[71].
ProgramHilbertamiałwieluoponentów,wtymFrege,BrouwerorazHerman
Weyl[136].WdyskusjizHilbertembronilioniplatonizmu,tj.tego,żeMatematyki
niemożnasprowadzaćtylkodoformalnychteorii,czylijaktooniujmowalidobezsen-
sownejmanipulacjisymbolami.Wydajesię,żenieotoHilbertowichodziło.Niemniej
jednakjegoformalistycznyprogramodcisnąłpiętnonaMatematyce,którewyrażasię
wpowszechnejioficjalnejopinii,żeMatematykasprowadzasiędoformalnychteorii,
zaśtzw.intuicjesątylkopomocniczeinaprawdęniewielewarte.FormalizmHilber-
towskimiałteżzdecydowaniepozytywnywpływnarozwójcałejMatematykipoprzez
wprowadzenienotacjiteoriomnogościowej,którastosowananierozważnie(bezugrun-
towania,czylibezprzypisaniaimsensuinnegopozaanalitycznymwywodzącymsię
zformalnejteorii)jestbardzoniebezpieczna.Pozwalaonaswobodnieoperowaćdo-
wolnymipojęciami,wtymrównieżzawierającymiaktualnenieskończoności.Hilbert,
swoimprogramem,zapoczątkowałrównieżrozwójmetamatematyki,wtymteoriido-
woduiteoriimodeli.Pozatym,Hilbertpostulował,żeformalizmbędzieuzasadniony,
jeślinajpierw,finistycznymimetodami,dowiedzionazostanieniesprzecznośćteorii.
WzorowałsięprzytymnaaksjomatycznejgeometriiEuklidesowej,tj.jeśliaksjoma-
tyzostanąugruntowane,toreszta(poprzezdowodzenie)równieżbędziemiałasens,
tzn.dowiedzionezdaniabędąprawdziwe.Taniesprzecznośćteoriimogłabypolegać